Stereometrie

Quader

Ebene Quaderschnitte: Die Schnittfläche ist ein Parallelogramm. (Die Schnittlinien in gegenüberliegenden Quaderflächen verlaufen parallel.)

Riegelbalken (Aufgabe 6)

Aufgaben zum Quader

1a) Wie lautet die Formel für die Länge der Körperdiagonalen aus den Kantenlängen a, b und c?

b) Drücken Sie die Körperdiagonale eines Würfels durch die Kantenlänge a aus.

c) Berechnen Sie den Winkel zwischen der Körperdiagonale eines Würfels und einer Seitenfläche.

2. Der Quader links habe folgende Masse: Länge von AB = 4 cm, Länge von BC = 4 cm, Länge von AE = 12 cm.

a) Eine Fliege krieche von A via Kante EF und via Kante HG zum MIttelpunkt der Kante GC. Berechnen Sie den kürzestmöglichen Weg, den sie dabei zurücklegen kann. Tipp: passende Abwicklung zeichnen.

b) Im Quader mit den oben angegebenen Massen wird das Dreieck ACH eingezeichnet. Man berechne dessen Winkel und dessen Flächeninhalt.

3a) Man drücke das Volumen eines Würfels durch dessen Oberfläche S aus.

b) Um wieviele % müssen die Kanten eines Würfels verkürzt werden, damit die Oberfläche des verkleinerten Würfels ein Drittel der ursprünglichen Oberfläche beträgt?

4a) Von einem Quader mit Grundfläche 16 cm² und Seitenflächen von 96 cm² und 24 cm² ist das Volumen gesucht.

b) Von einem Quader weiss man folgendes: V = 140 cm³ , Körperdiagonale k = 15 cm. Die Kanten der Grundfläche verhalten sich zudem wie 5 : 2. Gesucht sind die Kantenlängen a, b und c.

5. Ein quadratisches Stück Karton (Seitenlänge a) wird zu einem regelmässigen dreiseitigen Prisma gefaltet (die Verklebung wird durch Klebeband bewerkstelligt). Wie gross ist das Volumen dieses Prismas?

6. Ein Balken mit Querschnittmassen 10 cm x 12 cm wird wie im Bild links gezeigt als Stützriegel für einen rechten Winkel zugerichtet. Die Masse sind im Bild links angegeben. Man berechne das Volumen des Stützbalkens.

Das Cavalierische Prinzip

Körper, die auf jeder parallelen Schnittebene gleiche Querschnittsfläche aufweisen, haben gleiches Volumen. Die Stapel-Bilder machen dieses Prinzip plausibel.

Rechts: Der gerade und der schiefe Zylinder haben bei gleicher Grundfläche und gleicher Höhe dasselbe Volumen. Hat auch das Prisma ganz rechts dieselbe Grundfläche und dieselbe Höhe, weist auch dieser Körper dasselbe Volumen auf.

Insbesondere bei Pyramidenaufgaben ist es gelegentlich sinnvoll, die Spitze innerhalb einer Parallelebene zur Grundfläche an eine "geeignetere" Stelle zu verschieben, wobei das Volumen dann erhalten bleibt.

Bildquelle für Bild oben: Lutz Führer: Heuristik und Geschichte der elementaren Volumenberechnung, mathematica didactica 2006. Link:
http://www.mathdid.ph-gmuend.de

Volumen obiger Körper:

Volumen = Grundfläche mal Höhe.

Ein Würfel kann durch drei gleiche Pyramiden ausgefüllt werden. Das Volumen der Pyramide ist folglich

Volumen = Grundfläche ⋅ Höhe / 3.

Dieselbe Volumenformel gilt für den Kreiskegel.

Nach dem Cavalierischen Prinzip gilt diese Formel sowohl für gerade wie für schiefe Pyramiden bzw. Kegel.

Hier wird der Würfel durch 6 gleiche Pyramiden mit Grundfläche a² und Höhe a/2 ausgefüllt (a = Länge der Würfelkante).

Aufgabe:

7a) Welches Volumen hat das neonfarbene Tetraeder ausgedrückt durch die Länge der Würfelkante a?

Tipp: Aussenkörper wegschneiden.

b) Man leite eine Volumenformel für das reguläre Tetraeder mit Kantenlänge s her.

Tipp: Man benütze das Resultat von Teilaufgabe a).

Lösungen 1 - 7

1a) k² = a² + b² + c²        b) a√3      

c) Man hat ein rechtwinkliges Schnittdreieck mit Katheten a und a√2 und Hypotenuse a√3. Es ist z.B. a : a√2 = Tangens des gesuchten Winkels ⇒ der gesuchte Winkel beträgt ≈ 35.26°.

2a) 28.28 cm       b) 77.1°; 25.8°; 34.87 cm²

3a) a = Seitenkante Würfel ⇒ S = 6a² ⇒ a = (s/6)^1/2 ⇒ V = a³ = (s/6)^3/2.

b) Alte Kantenlänge =1. Alte Oberfläche S = 6. Neue Oberfläche = 2 = 6x² (x = neue Kantenlänge).  x = 1/√3 ≈ 0.577 ≈ 57.7% ⇒ Verkleinerung um 42.3 %.

4a) Kanten: a, b, c. Gleichungssystem:

(1): ab = 16       (2): bc = 96       (3): ac = 24 ⇒ a = 2; b = 8; c = 12; V = 192cm³

b) 1. Lösung: 2 cm, 5 cm, 14 cm;    2. Lösung: 5.53 cm; 13.82 cm; 1.83 cm.

(Lösungstipp: Grundseiten: 2x und 5x; Höhe 140 / 10x² . Die Gleichung für die Körperdiagonale wird eine Gleichung sechsten Grades, die durch Substitution auf eine Gleichung dritten Grades zurückgeführt werden kann. Es ergeben sich 2 Lösungen.)

5. Seitenkante Prisma: a/3. Querschnittsfläche Prisma (gleichseitiges Dreieck):
(a²√3) / 36. Volumen: (a³⋅√3) / 36.

6. ca. 16'289 cm³

Lösungshinweis: Am besten betrachtet man zwei rechtwinklige Prismen von 10 cm Dicke. Das grosse Prisma (gelb) besteht aus den Katheten 60 cm und 140 cm, A1 = 4200 cm², das kleine Prisma (grün) besteht aus dem Zwischenraum. Man kann vom grossen Prisma die Höhe berechnen: 60cm⋅40cm/(20√58)cm = H, davon 12 cm subtrahieren und erhält die Höhe h des kleinen Prismas und damit den Längenzoomfaktor k = h/H vom grossen zum kleinen Prisma. k² ist dann der Flächenzoom; damit ergibt sich die Querschnittsfläche 4200cm²⋅k² des kleinen Prismas und daraus das Volumen des kleinen Prismas. Das Volumen des Balkens ist die Differenz der Volumina der beiden Prismen.
Selbstverständlich sind auch andere Lösungswege -etwa über Winkelberechnungen- möglich.

7a) Man schneidet vom Würfelvolumen a³ vier Pyramiden mit Grundfläche a²/2 und Höhe a, also mit Volumen a³/6 ab, das ergibt ein Tetraedervolumen von a³ - 4a³ /6 = a³ /3.

b) s = a√2, ⇒ a = s/√2 und V = a³ /3 = s³ / (2√2⋅3) = s³ √2 / 12.

Pyramidenstumpf-Formel

Wir betrachten den Spezialfall eines quadratischen, geraden Pyramidenstumpfs mit Grundfläche G = a² und Deckfläche D = c². Wir zerlegen den Stumpf wie im Modell links gezeigt in einen Kernquader, 4 Prismen und 4 Pyramiden mit Grundkante 0.5(a - c).

1. Von den vier Prismen lege man je 2 so aneinander, dass zwei Quader entstehen. Das Volumen dieses Doppelquaders, respektive dieser vier Prismen, ergibt sich dann zu (a - c)⋅h⋅c.

2. Das Volumen der vier kleinen Eckpyramiden ist insgesamt gleich 4⋅0.5²(a -c)²⋅h /3 = (a - c)²⋅h /3.

3. Das Volumen des Mittelquaders ist gleich c²⋅h.

4. Das Volumen des gesamten Pyramidenstumpfs ergibt sich somit zu
V = (h/3)⋅[3(ac-c²) + (a - c)² + 3c²] = (h/3)⋅(a² + ac + c²) oder

Warum gilt diese -am Spezialfall des quadratischen Pyramidenstumpfs hergeleitete- Formel für beliebige Pyramidenstumpfe?

Man teste obige Formel in den beiden Spezialfällen D = 0 (Pyramide) und D = G (Quader).

Bemerkung

Beim Trapez berechnet sich die Fläche als Mittellinie mal Höhe. Die Mittellinie ist der Durchschnitt von Grund- und Deckseite. Eine häufige Fehlüberlegung beim Pyramidenstumpf ist die Annahme, das Volumen sei gleich Inhalt der Mittelfläche mal Höhe. Warum ist diese Überlegung falsch? Oft wird zudem noch fälschlicherweise der Inhalt der Mittelfläche einfach als Durchschnitt von Grund- und Deckfläche berechnet.

Oft verwendet man aufgrund obiger Überlegungen folgende (nicht korrekte) Näherungsformel: V' = h(G + D) / 2. Wieviele % beträgt der Fehler, wenn man anstelle der richtigen Volumenformel V = (h/3) (G + (GD)^1/2 + D) die falsche Formel V'=(h/2)(G + D) verwendet, wenn G  = 18, D  = 8 und h = 10 sind?

Antwort zur links geschilderten Fehlüberlegung : V = 126.67;   V' = 130;   V' ist gegenüber V um 2.63% zu gross.
Die Näherungsformel überschätzt das Volumen. Ersetzt man in der richtigen Volumenformel

V = (h/3) (G + (GD)^1/2 + D)

den Mittelterm (GD)^1/2, d.h. das geometrische Mittel von Grund- und Deckfläche, durch den Term (G + D) /2, d.h. durch das arithmetische Mittel von Grund- und Deckfläche, so entsteht die Näherungsformel V' = h(G + D) / 2. Das arithmetische Mittel ist jedoch immer ≥ dem geometrischen Mittel, deshalb liefert die Näherungsformel immer zu grosse Volumenwerte.

Was kann man sich geometrisch unter (GD)^1/2 vorstellen?

Wir denken uns den Pyramidenstumpf durch eine zu G und D parallele Ebene der Grösse M so zweigeteilt, dass der obere und der untere Teilpyramidenstumpf zueinander ähnlich sind. Dann gilt: D : M = M : G und M wird gleich (GD)^1/2.

(GD)^1/2 ist also die Grösse derjenigen Parallelebene die den Pyramidenstumpf in zwei zueinander ähnliche Teilstumpfe zerlegt.

Die Pyramidenstumpf-Formel V = h⋅ [G + (GD)^1/2 + D] / 3 kann man auch so interpretieren:

Man bildet den Durchschnitt des Inhalts dreier Ebenen: G, (GD)^1/2 und D. Diese Durchschnittsfläche -aufgefasst als Quadratfläche- wird mit h multipliziert. Man hat also einen "Ersatzquader" mit dieser Durchschnittsfläche als Querschnittsfläche und der Höhe h, dessen Volumen gleich dem Volumen des Pyramidenstumpfs ist. Wollen wir also analog zur Flächenformel des Trapezes ("Mittellinie mal Höhe") für den Pyramidenstumpf eine Formel "Mittelfläche mal Höhe" haben, so ist diese "Mittelfläche" gleich [G + (GD)^1/2 + D] / 3, also das arithmetische Mittel aus der Grundfläche, der Fläche, welche den Stumpf in zwei ähnliche Teilstumpfe zerlegt und der Deckfläche. Die Verallgemeinerung der Trapezflächenformel auf den dreidimensionalen Fall des Pyramidenstumpf-Volumens gestaltet sich also nicht ganz so einfach, wie es auf den ersten Blick erscheinen könnte.

Illustration zu den Bemerkungen oben:

Linkes Bild: Trapez. Rot: Mittellinie m (= arithmetisches Mittel von Grund- und Deckseite). Grün: Geometrisches Mittel von Grund- und Deckseite, d.h. (a⋅c)^1/2 : Durch die grüne Linie entstehen zwei zueinander ähnliche Teiltrapeze T1 und T2. Das arithmetische Mittel ist grösser als das geometrische Mittel.
Trapezfläche = m ⋅Höhe.

Rechtes Bild: Pyramidenstumpf. Man sieht die drei Ebenen G, (GD)^1/2 und D. Die mittlere Ebene erzeugt zwei zueinander ähnliche Teilstumpfe (grün und gelb). Rot: μ := [G + (GD)^1/2 + D] /3 ist die quadratische Querschnittsfläche des roten Quaders, der dasselbe Volumen besitzt wie der Pyramidenstumpf.
Stumpfvolumen = μ⋅Höhe.

Walmdach

Gegeben: l, b, h, f.   Gesucht: Volumen des Walmdaches.

Tipp: Man zerlege das Dach ein ein Mittelprisma und in zwei gleiche Pyramiden P1 und P2. P1 und P2 können zu einer Pyramide P zusammengeschoben werden. Nun lässt sich das Volumen des Walmdaches leicht berechnen. (Lösung unten links.)

Lösung:

Volumen von P = P1 + P2 ist gleich (l - f)⋅b⋅h / 3

Volumen Prisma ist gleich 0.5⋅b⋅h⋅f

Eine weitere Fehlüberlegung:

Frage: Warum kann das Volumen des Walmdaches nicht mit der Pyramidenstumpf-Formel berechnet werden (Grundfläche l⋅b, Deckfläche 0)?

Antwort: Beim Pyramidenstumpf sind Grund- und Deckfläche ähnlich. Das ist beim Walmdach nicht der Fall.

Austesten der Walmdach-Formel:

Der Mathematiker Georg Polya empfiehlt, eine gefundene Formel in Grenzfällen zu testen. Auch dort muss sie sich bewähren. Wir testen die Walmdachformel in folgenden Grenzfällen:

Grenzfall 1: Satteldach (Prisma), d.h. die giebelseitigen Flächen stehen senkrecht: f = l:

V = (1/6)b⋅h⋅3l = (1/2) ⋅b⋅h⋅l: Dies ist tatsächlich das Volumen eines Prismas: Dreiecksfläche mal Länge.

Grenzfall 2: Pyramidendach, d.h. f = 0:
V = (1/6)⋅b⋅h⋅2l = (1/3)⋅b⋅l⋅h = Volumen einer Pyramide:
Grundfläche mal Höhe durch 3.

Diskussion der Walmdach-Formel:

Die Walmdach-Formel enthält als Spezialfälle die Prismenformel (mit Bruchfaktor 1/2) und die Pyramidenformel (mit Bruchfaktor 1/3). Dies lässt den Faktor 1/6 plausibel erscheinen (kgV-Nenner). Anstelle der gewöhnlichen Länge l in der Prismen- und der Pyramidenformel erscheint der Faktor (2l + f): Eine Vergrösserung von l wirkt sich stärker auf das Volumen aus als eine Vergrösserung von f: Auch dies ist anschaulich plausibel.

1. Wie gross ist der Schnittwinkel zweier benachbarter Flächen eines regulären Tetraeders?

2. Sternkörper: Auf einen Würfel mit Kantenlänge a werden auf jede Seitenfläche Pyramiden mit lauter gleichlangen Kanten aufgesetzt. Wie gross ist das Volumen des entstehenden Sternkörpers?

3. Eine reguläre fünfseitige Pyramide ist 24 cm hoch. Der Umkreis der Grundfläche hat einen Radius von 10 cm. Wie gross ist das Volumen?

4. Siehe Bild: Die Pyramide ist quadratisch mit Kantenlänge a und Höhe h. M1 und M2 sind Kantenmitten. Wie gross ist das Volumen des grün markierten Körpers?
Tipp: Eine volumentreue Verschiebung der Firstlinie führt den Körper in ein symmetrisches Walmdach über.

Die 5 Platonischen Körper: Tetraeder, Oktaeder, Hexaeder (Würfel), Dodekaeder, Ikosaeder

Aufgabe 4: erstes Bild: ursprüngliche Aufgabe; zweites Bild: volumentreue Verschiebung der Firstlinie lässt ein symmetrisches Walmdach entstehen

Lösungen:

1. Die Höhe des Tetraeders entspringt dem Schwerpunkt der Grundseite. Dieser teilt die Seitenhöhe der Grundseite im Verhältnis 1 : 2. Wir nehmen an, die Seitenlänge des Tetraeders sei 1. Das Stützdreieck, das den gesuchten Winkel enthält, hat die Ankathete √3 / 6 und die Hypotenuse √3 / 2. Der Kosinus des gesuchten Winkels ist somit gleich 1/3, der Winkel folglich ca. 70.5°.

2. (1 + √2)a³

3. Die Grundfläche besteht aus 5 gleichen 72°-Dreiecken. Die Fläche eines dieser Dreiecke ist gleich 0.5⋅10⋅10⋅sin(72°). Die Grundfläche ist dann gleich 5⋅0.5⋅10⋅10⋅sin(72°) = 250⋅sin(72°). Das Volumen ist gleich 250⋅sin(72°)⋅24/3 = 2000⋅sin(72°) ≈ 1902.113 cm³.

4. Siehe Walmdach-Formel oben mit l = a, b = a, Höhe = h/2, f = a/2:
V = (1/6)⋅a⋅(h/2)⋅(2a + a/2) = 5 a² ⋅h /24

Fazit: Die Walmdachformel gilt auch für asymmetrische Walmdächer.