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On being the right size

   
 
 

http://irl.cs.ucla.edu/papers/right-size.html

 

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Werden die Längen eines Gebildes mit dem Faktor k gezoomt, so zoomt sich die Fläche mit dem Faktor k2 und das Volumen bzw. das Gewicht mit dem Faktor k3 .

Dies hat weitgehende Folgen für das richtige Mass von Lebewesen wie bereits 1928 J.B.S. Haldane, ein englischer Naturforscher und Zeitgenosse Darwins, herausfand (On being the right, size).

 
 
 
 
 

Aufgaben:

1. Eine Figur ist 1.65 m hoch. Eine ähnliche Figur ist 1.75 m hoch. Berechnen Sie das Verhältnis der Oberflächen und das Volumenverhältnis.

riese

2. In Märchen und Sagen kommen Riesen vor. Wenn die Hand einer Person ca. 500 ml Volumen aufweist, wie gross ist dann das Volumen der Hand eines Riesen, der die zehnfache Länge der Person hat?

 

3. Hier eine Überlegung des englischen Naturforschers J.B.S. Haldane, eines Zeitgenossen von Darwin (um 1928):

Ein Mensch, der aus dem Wasser steigt, trägt im Moment des Aussteigens auf sich noch einen Wasserfilm von ca. 0.3 mm Dicke; das sind ca. 500 g Wasser, d.h. etwa 1/140 des Körpergewichts.

Wie stünde es bei einem Mini-Wesen, das 20-mal kleiner ist als ein Mensch?

 

4. Um bei Warmblütern die Körpertemperatur halten zu können, muss die Wärmeabstrahlung via Körperoberfläche durch Nahrungszufuhr kompensiert werden. Die zugeführte Nahrungsmenge muss deshalb etwa proportional zur Körperoberfläche sein (und nicht zum Gewicht). Vergleichen Sie Körpergewicht und Körperoberfläche eines Menschen und eines Mini-Wesens (z.B. eines Mäuschens) das 80-mal kleiner ist als ein Mensch.

Das Zusammenspiel zwischen Längen, Flächen und Volumina unserer Organe und unserer Körperteile funktioniert nur in genau der Grösse, die wir haben ("on being the right size"). Menschliche Riesen oder Zwerge wären nicht lebensfähig. Auch Tiere sind in ihrer Grösse genau ihrem Lebensraum angepasst. Sie haben für diesen Lebensraum genau die richtige Grösse und das richtige Verhalten (z.B. Vogelzug bei Einzug der kalten Jahreszeit).

 

Lösungen:
1.
k = 1.75 m / 1.65 m = 1.061, d.h. Längenzuwachs = 6.1%.
k2 = 1.125,  d.h. Flächenzuwachs = 12.5%.
k3 = 1.193, d.h. Volumen- und damit auch Gewichtszuwachs = 19.3%.

2.
k = 10.  k3 = 1000 => Volumen der Riesenfaust = 1000 ⋅  500 ml = 500 L.
Sie hat also (bei einer Dichte von 1.2 g / cm3 ) eine Masse von mehr als 500 kg, dies an einem „Hebelarm“ von ca. 6 m Länge. Der Riese könnte seine eigene Hand gar nicht anheben, zudem würden beim Anheben vorher seine Armknochen brechen, da die Stabilität eines Knochens proportional zur Querschnittsfläche ist. Bei wachsendem k vermag die Querschnittsfläche dem stärker wachsenden Volumen und Gewicht der Faust nicht mehr zu folgen; der Knochen bricht unter dem Gewicht der eigenen Faust.

3. k = 1/20, k2 = 1/400,  k3 = 1/8000.
Die Oberfläche des Mini-Wesens ist 400-mal kleiner als die Oberfläche eines Menschen => Das kleine Wesen trägt bei gleicher Wasserfilmdicke ca. 500 g / 400 = 1.25 g Wasserfilm auf sich.
Die Körpermasse ist jedoch 8000-mal kleiner als unsere, also ca. 70 kg : 8000 = 8.75 g. Das kleine Wesen trägt also einen Wasserfilm, der etwa 1/7 seines Körpergewichts ausmacht!
(Das wäre, wie wenn wir einen Wasserfilm von 10 kg tragen müssten: Wir könnten unter dem Gewicht dieser Masse nicht mehr aus dem Wasser aussteigen und müssten ertrinken.)

Bei noch kleineren Dimensionen wird das zu tragende Wassergewicht sogar grösser als das eigene Körpergewicht; dies ist z.B. bei Insekten der Fall, die ins Wasser fallen. Deshalb kann ein nasses Insekt nicht mehr wegfliegen; der Wasserfilm ist zu schwer.

J.B.S. Haldane („On being the right Size, 1928) schreibt:
A wet mouse has to carry about its own weight of water. A wet fly has to lift many times its own weight and, as everyone knows, a fly once wetted by water or any other liquid is in a very serious position indeed. An insect going for a drink is in as great danger as a man leaning out over a precipice (Abgrund) in search of food. If it once falls into the grip of the surface tension of water –that is to say, gets wet- it is likely to remain so until it drowns. A few insects, such as water-beetles, contrive to be unwettable; the majority keep well away from their drink by means of a long proboscis (Rüssel).“
http://irl.cs.ucla.edu/papers/right-size.html

4. k = 80, k2 = 6'400, k3 = 512'000. Nehmen wir an, der Mensch habe eine Masse von 80 kg und esse täglich 1 kg Nahrung. Das kleine Wesen hat eine Masse von 80 kg : 512'000 = 1/6400 kg. Sein Nahrungsbedarf ist jedoch proportional zu seiner Körperoberfläche. Es muss also etwa 1/6400 kg Nahrung zu sich nehmen. Das entspricht einer Nahrungsaufnahme des eigenen Körpergewichts. Eine Maus frisst tatsächlich je nach Art 1/4 bis 1/1 ihres Körpergewichts an Nahrung. In kalten Regionen, wo der Wärmeverlust via Körperoberfläche gross ist, muss eher noch mehr Nahrung zur Kompensation aufgenommen werden. Deshalb sind in kalten Regionen kleine Tiere nicht optimal.

 J.B.S. Haldane schreibt hierzu:
For the same reason small animals cannot live in cold countries. In the arctic regions there are no reptiles or amphibians, and no small mammals. The smallest mammal in Spitzbergen is the fox. The small birds fly away in winter (...). The most successful mammals are bears, seals and walruses.“