Funktionen kombinieren

Funktionen können auf vielfältige Art kombiniert werden. Einige Beispiele:

• Funktionen addieren
• Funktionen multiplizieren
• Funktionen verketten
• Funktionen falten

Wir betrachten vorwiegend reelle (z.T. auch komplexe) Funktionen in einer Variablen.

1. Funktionen addieren

1.1. Beispiel Töne / Obertöne (Musik)

Zu einer Grundschwingung werden Obertonschwingungen addiert. Es entsteht der charakteristische Klang eines bestimmten Instrumentes.

y = sin(x) + 1/3 sin(3x) + 1/5 sin(5x) + 1/7 sin(7x)

Bildquelle: https://www.egli1.ch/Oboe/oboenspektrum/node3.html

Die links gezeigte Schwingung ist eine Summe von Grundschwingung und Obertonschwingungen.

Besonders bedeutsam ist das Umkehrproblem: Gegeben eine periodische Funktion. Gesucht: Die einzelnen Sinus- und Kosinus-Summanden, also das Obertonspektrum. Dies leistet die Fourierzerlegung.

1.2. Beispiel Kettenlinie

Die Kettenlinie ist die Summe zweier Exponentialfunktionen:

f(x) = a⋅(e^x/a + e^-x/a)/2 + b

oder y = a⋅cosh(x / a) + b

Aufgabe

Eine Kette, welche der Gleichung links mit b = 0 genügen soll (entspricht einer Kettenlänge von ca. 1.83 m), hängt zwischen zwei Pfosten, die im Abstand d zueinander stehen.
Der Koordinatenursprung sei die Mitte zwischen den beiden Pfosten am Boden.
Die Kette hängt an der tiefsten Stelle 0.4 m über Boden.
Sie ist an jedem Pfosten auf einer Höhe von 1.0 m über Boden befestigt.

In welchem Abstand d müssen die Pfosten gesetzt werden?

Bemerkung:
Der Parameter a ist zugleich der Krümmungsradius an der Scheitelstelle.

Lösung der Aufgabe:

Krümmungsradius im Scheitel 0.4 m.

Zusatzaufgabe:

Wie weit auseinander sind die Pfosten zu setzen, wenn der Krümmungsradius am Scheitelpunkt 2 m betragen soll, die Kette am Scheitelpunkt 0.4 m über Boden verlaufen soll und die Aufhängungen je 1 m über Boden sein sollen?

rot: Krümmungskreis r = 2 m; braun: Aufhängepfosten 1 m hoch; Scheitel 0.4 m über Boden
blau: die entsprechende Kettenlinie.

Lösung:

a = 2.
f(x) = 1 (e^x/2 + e^-x/2) + b
f(0) = 0.4 = 2 + b => b = -1.6
f(x) = e^x/2 + e^-x/2 -1.6
e^d/4 =: u => f(d/2) = 1 = u + 1/u - 1.6 oder 2.6 = u + 1/u =>
2.6u = u² + 1 oder u² - 2.6u + 1 = 0. Es folgt u = 2.13066.. und d = 3.026 m.

Antwort: Um einen Krümmungsradius im Scheitel von 2 m zu erreichen, müssen die Pfosten ca. 3.026 m auseinander stehen.

Bemerkung:
Interessant ist die Tatsache, dass das Gewicht der Kette keinen Einfluss auf die Form der Kettenlinie hat. Auf dem Mond nähme somit eine Kette bei gleichen Mass-Verhältnissen dieselbe Form an wie auf der Erde.

1.3. Zerlegung einer Funktion in die Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion

f(x) heisst gerade, wenn f(-x) = f(x) ist. f ist dann symmetrisch zur y-Achse.

f(x) heisst ungerade, wenn f(-x) = - f(x) ist. f ist dann punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

Wir suchen:

f(x) = g(x) + u(x), mit g gerade und u ungerade. Wie könnten g und u konstruiert werden?

Lösung:

g(x) = (f(x) + f(-x)) / 2 und u(x) = (f(x) - f(-x))/ 2.

Man überlege, warum g gerade und u ungerade ist. (Was passiert beim Wechsel von x zu -x?)

Zusatz: Man suche Funktionen, bei denen eine solche Zerlegung nicht möglich ist. Welche Bedingung muss f erfüllen, damit eine solche Zerlegung gelingt?

Beispiel: Zerlegung von y = Exp(x) in einen geraden und einen ungeraden Anteil:

blau: Exponentialfunktion (weder achsen- noch punktsymmetrisch)
grün: gerader Anteil, rot: ungerader Anteil.

g(x) = (Exp(x) + Exp(-x)) / 2

u(x) = (Exp(x) - Exp(-x)) / 2

----------------------------------

Summe = Exp(x)

1.4. Darstellung einer Funktion als Taylor-Polynom

Wir betrachten folgende Polynomfunktion:

Allgemein:

Man sagt, man habe die Funktion f um x = 0 herum entwickelt.

Nun kann man versuchen, diese Formel auch auf andere Funktionen zu übertragen.

Beispiel: Exponentialfunktion:

Es stellen sich etliche Fragen: Wann ist eine solche Entwicklung möglich? Wann konvergiert eine solche Entwicklungsreihe gegen die ursprüngliche Funktion? Wie sieht das Restglied bei endlicher Summation aus, das die Näherungssumme zur wirklichen Funktion ergänzt? Wie steht es bei komplexen Funktionen?

Aufgaben:

1. Man finde die Potenzreihe für die Sinusfunktion.
2. Man finde die Potenzreihe für die Kosinusfunktion.
3. Man finde eine Potenzreihe für die Funktion y = Exp(i x) und y = Exp( -i x). i sei dabei die imaginäre Einheit: i² = -1.
4. Man vergleiche die unter 1 - 3 gefundenen Potenzreihen miteinander.

Entwicklung der Sinusfunktion in ein Taylorpolynom 7. Grades. Im Bereich zwischen ca. -3 und +3 ist das Taylorpolynom eine recht gute Näherung für y = sin(x).

Zu den obigen Aufgaben:

1.5. Fourierreihen

Rechts ist eine periodische Funktion abgebildet, die sich aus zwei elementaren Winkelfunktionen zusammensetzt. Interessanter als das Zusammensetzen von Sinus- und Kosinusfunktionen ist die Umkehrung: Gegeben eine (zunächst) periodische Funktion f(t). Gesucht: Eine Zerlegung in Sinus- und Kosinuskomponenten:

f(t) = a(0) + a(1)cos(t) + a(2)cos(2t) +... + b(1)sin(t) + b(2)sin(2t) + ...

Die a(i) und die b(i) sind die Fourierkoeffizienten. Sie repräsentieren das Spektrum von f(t).

Weiterführende Fragen:

• Fragen der Konvergenz der Fourierreihe gegen f
• Wie findet man die a(i) und die b(i)?
• Ausdehnung auf nicht-periodische Funktionen

f(t) = - 0.5 sin(4t) + 0.5 sin(6t)

1.5.1. Grundlagen: Orthogonalität von sin(mt) und cos(mt):

Wir benötigen folgende Tatsache:

Das ∫ sin(m⋅t)⋅sin(n⋅t)dt integriert zwischen 0 und 2π beträgt 0 für m ≠ n und π für m = n.

Dasselbe gilt für ∫ cos(m⋅t)⋅cos(n⋅t)dt integriert zwischen 0 und 2π.

Ferner ist ∫ sin(m⋅t)⋅cos(n⋅t)dt integriert zwischen 0 und 2π = 0.

Da das Integral eine Art verallgemeinertes Skalarprodukt darstellt, und zwei Vektoren mit Skalarprodukt 0 orthogonal (senkrecht) aufeinander stehen, spricht man hier ebenfalls von Orthogonalität der elementaren Sinus- und Kosinusfunktionen.

Falls f(t) nicht die Periode 2π, sondern etwa die Periode T aufweist (die Kreisfrequenz ω(0) ist 2π/T) wird einfach über diese Periode integriert, z.B. von t(1) bis t(1)+T.

Begründung:

1.5.2. Berechnung der Koeffizienten der Sin- / Cos-Reihe

Sei nun f(t) nun eine Funktion (der Zeit) mit Periode T.

Mittels obiger Orthogonalitätsregeln folgt:

(*): Nach den Orthogonalitätsrelationen oben ergibt die Integration
∫ sin(k⋅t)⋅sin(k⋅t)dt bzw. ∫ cos(k⋅t)⋅cos(k⋅t)dt von 0 bis 2π den Wert π.
Integriert von 0 bis T ergibt die Integration folglich π⋅[T/(2π)] = T/2.

Abb. oben: f(x) = sin² (5x). Das Integral von 0 bis T ergibt T/2.

Beispiel: f(t) = - 0.5 sin(4t) + 0.5 sin(6t). T = π.
Wir multiplizieren mit sin(4t) und integrieren von 0 bis π.
Resultat: -0.5⋅(π/2) = -0.5⋅(T/2), somit a(4) = (2/T)⋅(T/2)⋅(-0.5) = -0.5.

1.5.3. Beispiel: Periodischer Rechteckimpuls mit Länge 1 und Periode π

Sei f(t) ein periodische Rechteckschwingung mit Periode 2π. f(t) sei 1 zwischen 0 und π und - 1 zwischen π und 2π und werde dann in gleicher Weise periodisch fortgesetzt.
Bei den Vielfachen von π sei der Funktionswert gleich 0.

Wie lautet die Fourierreihe von f?

f ist punktsymmetrisch zu (0/0), folglich entfallen alle a(k).

Wir finden:

Obige Rechteckfunktion (n = 11 unten und n = 39 rechts), sowie ganz rechts das
Frequenzspektrum mit den Amplituden 4 / [π⋅(2k-1)], k = 1, 2, ...

Bemerkung zur Konvergenz: Man sieht, dass die Reihe mit zunehmender Anzahl Summanden sich der Rechteckfunktion annähert. Allerdings wird an den Ecken der Rechtecke keine schöne Konvergenz sichtbar: Es entstehen "Ausschläge", die nicht verschwinden (Gibssches Phänomen).

Es gilt: Für Funktionen mit einem Sprung (wie z.B. unsere periodische Rechteckfunktion) konvergieren die Fourierreihen niemals gleichmässig. Man spricht von mittlerer quadratischer Konvergenz.

Weiteres Beispiel: Sägezahn-Schwingung

Die Grenzfunktion ist (mit Ausnahme der singulären Punkte bei den ungeraden, ganzzahligen x-Werten) punktsymmetrisch zum Ursprung, und die Fourierpolynome enthalten deshalb nur Sinus-Komponenten. Periode T = 2.

Es liegt keine punktweise Konvergenz vor, da z.B. bei x = 1 alle Fourierpolynome 0 werden, f jedoch gemäss Konstruktion links den Wert 1 besitzt.
Die klassischen Konvergenzbegriffe stossen somit bei der Fourieranalyse an ihre Grenzen; wir benötigen das neue Konzept der Konvergenz im quadratischen Mittel.

Herleitung des Integrals oben mittels partieller Integration:

Weiteres Beispiel:

f(x) = 1 - x²/π², -π ≤ x ≤ π, eine quadratische Parabelfunktion

F(x) ist das zugehörige Fourierpolynom 4. Ordnung.

Man sieht die recht gute Näherung im Intervall [-π ; π] mit Ausnahme des Randbereichs dieses Intervalls. Das Fourierpolynom setzt die Funktion f periodisch fort, weshalb im Randbereich des Intervalls die Näherung nicht mehr funktionieren kann.

f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, sodass im Fourierpolynom nur Kosinusfunktionen auftreten.

1.5.4. Übergang zur komplexen Darstellung

In der komplexen Darstellung können wir den Sonderzug von a(0) vermeiden und die Summenformel kompakt schreiben.

Nun ergibt sich:

Der Querstrich bedeutet die konjugiert-komplexe Zahl.

Wir haben nun das Fourierpolynom als kompakte Summe mit komplexen Koeffizienten geschrieben. Dazu mussten wir auch negative Indizes k zulassen.

Für 2π-periodische Funktionen haben wir also:

Wir verallgemeinern noch auf periodische Funktionen mit Periode T:

1.5.5. Verallgemeinerung auf nicht-periodische Funktionen

Lassen wir T gegen unendlich gehen, so wird die 2. Periode immer weiter hinausgeschoben; für unendliches T erscheint sie überhaupt nicht mehr: Wir haben eine abbrechende, nicht-periodische Funktion. Was geschieht dabei?
ω(0), also die Schrittweite für die einzelnen Frequenzanteile, wird immer kleiner. Das heisst, dass das Frequenzspektrum immer näher zusammenrückt. Im Grenzfall T unendlich entsteht ein kontinuierliches Spektrum:

Die Frequenzdichtefunktion F(ω), die Fouriertransformierte von f(t), wird gemäss obiger Formel berechnet.

1.5.6. Vereinfachte Formeln für gerade und für ungerade nicht-periodische Funktionen

Manche Funktionen können in einen geraden und einen ungeraden Anteil aufgespalten werden:

Abb. oben: Spektraldichtefunktion eines endlichen Rechteckimpulses (2s), symmetrisch zur y-Achse. ω = Kreisfrequenz = 2πν. Was bedeuten negative Frequenzamplituden? Fürs Ohr wäre die Intensität, d.h. die quadrierte Funktion, massgebend.

Gedämpfte Kosinusschwingung 20 Hz
t-Achse: Zeit in s.

Hördauer ca. 2 Sekunden (von ca. -1 nach +1).

Die Fouriertransformierte der Kosinusschwingung links (Frequenzspektrum).
ω-Achse: ω = 2πν. (Spiegelbildlich zur y-Achse entsteht nochmals derselbe Peak.)

Das breite Frequenzspektrum (Unsicherheit ca. 0.5 Hz) macht bei diesem tiefen Ton etwa einen Vierteltonschritt aus. Der Ton ist nicht mehr ganz klar zu identifizieren. Würde der Ton links noch kürzer erklingen (Bild unten), wäre das Frequenzspektrum noch breiter und der Ton noch weniger gut lokalisierbar. Bei hohen Tönen hat 1 Hz Unsicherheit praktisch keinen Einfluss auf die Tonhöhe; hohe Töne können deshalb viel schneller identifiziert werden als tiefe Töne.
Deshalb gibt es zwar Koloratursoprane aber keine Koloraturbässe. Sarastro könnte keine Koloraturarie im Stil der "Königin der Nacht" singen - es resultierte ein undefinierbarer Toncluster.

Derselbe 20Hz-Ton noch kürzer: Das Frequenzspektrum wird breiter; damit wird dieser tiefe Ton noch weniger gut identifizierbar. Die Hör-Unsicherheit ist grösser als ein Halbtonschritt.

(Niemand wird in einem Musikvortrag bemerken, wenn in einer relativ schnell und staccato gespielten, sehr tiefen Basslinie aus Versehen um einen Halbton daneben gegriffen wird.)

Zusammengefasst:
Langes Tonsignal => enges Frequenzspektrum und damit gute Lokalisierbarkeit des Tons.
Kurzes Tonsignal => breites Frequenzspektrum und damit schlechte Lokalisierbarkeit vor allem tiefer Töne.
(Δt⋅Δω = const.; ein Analogon zur Unschärferelation der Quantenphysik)

2. Funktionen multiplizieren

Treffen äussere Einflüsse auf einen Filter, findet gewissermassen eine multiplikative Selektion statt.
Nimmt etwa ein Stück Materie von einer eintreffenden Strahlung nur 60% auf, so wird zur Berechnung der aufgenommenen Strahlung die Intensität der eintreffenden Strahlung mit 0.6 multipliziert.

Ein Beispiel für solche Filterungsvorgänge ist unser Farbsehen. Bereits im Auge findet ein Grossteil der Datenverarbeitung statt.

In unseren Augen befinden sich drei Zapfenarten fürs Farbsehen (S-, M- und L-Rezeptoren). Diese sind für verschiedene eintreffende Frequenzen verschieden empfänglich.

Sei y(λ) die Empfänglichkeitskurve für die M-Zapfen.
Achtung: Die nebenstehende Darstellung gibt diese Kurve nur sehr ungenau wieder; es geht lediglich um eine grobe Illustration des Sachverhalts.
Für eine genauere Kurve und eine fundiertere Beschreibung des Sehvorgangs siehe z.B. hier:
https://www.itp.uni-hannover.de/fileadmin/arbeitsgruppen/zawischa/static_html/fmetr.html
Sei g(λ) ein eintreffendes Spektrum.
Dieses wird nun von der M-Zapfenfunktion gewichtet. Resultat: y(λ)⋅g(λ). Diese Produktfunktion repräsentiert das vom Spektrum via M-Zapfen (Grünbereich) Aufgenommene.

Denselben Gewichtungsvorgang kann man nun auch mit den beiden andern Zapfenarten durchführen. Man erhält drei Produktfunktionen. Deren Integrale sind drei Zahlen X, Y und Z, die gewissermassen den Farbwert, den das eintreffende Spektrum in uns erzeugt, quantifizieren.
Man normiert diese drei Werte noch auf Summe 1:

X / (X + Y + Z),      Y / (X + Y + Z),      Z / (X + Y + Z).

Bild rechts: Der ungefähre Verlauf der drei Normspektralwertfunktionen unseres Auges (nur ungefährer Verlauf!). Sie wurden durch Versuche an zahlreichen Versuchspersonen ermittelt, jedoch so transformiert, dass keine negativen Werte entstehen. Genaueres s. Link oben.
Grau: Eintreffendes Spektrum.
Gestrichelt und farbig untermalt: Das Resultat der Multiplikation des eintreffenden Spektrums mit den drei Zapfenfunktionen. Die drei Flächeninhalte werden auf Summe 1 (100%) normiert.
Im Resultat entsteht im Beispiel rechts ein dunkles Blau mit einem Stich ins Grünliche.

Es ist also nicht der äussere Frequenzeinfluss allein, der die Farbwahrnehmung erzeugt, sondern sein Zusammenwirken mit den Empfindlichkeitsfunktionen der Rezeptoren in unseren Augen.

Ableitung des Produkts zweier Funktionen: s. hier

Partielle Integration: s. hier

3. Funktionen verketten

Funktionen können verettet, d.h. hintereinander ausgeführt werden.
Beispiel: Die berühmte Gaussfunktion. Siehe auch hier.

Kettenregel: s. hier.
Integration durch Substitution: s. hier

Beispiel oben: Gaussglocke mit Mittelwert μ=2 und Standardabweichung σ=2. Gesamtfläche 1.

Flächeninhalt im Bereich [μ - σ ; μ + σ]:   0.683

Flächeninhalt im Bereich [μ - 2σ ; μ + 2σ]:  0.955

4. Funktionen falten

Siehe hier oder auch hier.