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Denksport - Zahlrätsel

   
 
 
 

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Lösungshinweise

 

 

 

  1. Gesucht ist eine dreistellige Zahl. Sie ist sowohl durch 9 wie auch durch 11 teilbar. Vertauscht man die vordere und die hintere Ziffer, wird die neue Zahl nur zwei Neuntel der ursprünglichen Zahl.

  2. Gesucht ist eine vierstellige Zahl. Wenn wir sie durch 68 teilen, gibt es Rest 30. Wenn wir sie durch 90 teilen, gibt es ebenfalls Rest 30.

  3. Wieviele Zahlen zwischen 1 und 100 sind weder durch 3, noch durch 5, noch durch 7 teilbar?

  4. Gesucht sind zwei Zahlen. Man bilde ihre Summe. Man bilde auch ihr Produkt. Wenn Summe und Produkt addiert werden, erhält man 79. Wie heissen die Zahlen?

  5. Eine gesuchte Zahl liegt "fast" in der Zehnerreihe: sie ist dafür aber um Eins zu klein. Die gleiche gesuchte Zahl ist auch um 1 zu klein, um in der Neuner-, Achter-, Siebner-, Sechser-, Fünfer-, Vierer-, Dreier- und Zweierreihe zu liegen. Finden Sie eine solche Zahl?

  6. Zahlen bestehen aus Ziffern. Denken Sie sich alle Zahlen von 1 bis 100 notiert. Wieviele einzelne Ziffern würden Sie dazu benötigen?
Wie steht es mit den Zahlen von 1 bis 1000?
Und nun das Schwierigste: Jemand hat die Zahlen von 1 bis ??? aufgeschrieben und dazu 38'894 Ziffern benötigt. Um welche Zahl handelt es sich bei "???" ?

  7. Das Kartenhaus soll insgesamt 47 Stockwerke hoch werden. Wieviele Karten sind dazu nötig?

kartenhaus

 

 

 8. Gleiche Buchstaben der folgenden schriftlichen Additionen sind durch gleiche Ziffern zu ersetzen. Wie heissen diese Ziffern?

addition          addition2

Link zu einem Java-Applet von Dr. Peter Gallin zur Erzeugung solcher Buchstabenrätsel

 9. Gibt es eine vierstellige Zahl, deren Vierfaches gerade die Zahl mit umgekehrter Ziffernfolge ist?
xx

10. Palindrom-Zahlen
bild

Palindrome sind Ausdrücke, die sowohl von links nach rechts wie von rechts nach links gelesen, dasselbe ergeben. Beispiel: OTTO. Palindromzahlen sind z.B. 99, 747, 12321. Alle einstelligen Zahlen sind Palindromzahlen. Bei den zweistelligen Zahlen sind es 11, 22, ..., 99.
Wieviele dreistellige Palindromzahlen gibt es? Man beachte: Eine Null am Anfang gilt nicht, in der Mitte aber schon.
Wieviele vier- und fünfstellige Palindromzahlen gibt es?
Vgl. http://www.mathematische-basteleien.de.

11. Wieviele Zahlen unter 1000 haben Quersumme 5?

12. Was kann man punkto Wochentag vom 1. Januar (Neujahr) und vom 31.Dezember (Silvester) desselben Jahres sagen, wenn es sich nicht um ein Schaltjahr handelt?

13. Gibt es in jedem Jahr mindestens einen "Freitag, den Dreizehnten" oder gibt es Jahre ohne?

 

 
 
 

14. Wie geht es folgerichtig weiter? Oder: "Die nächste Zahl ist immer die Sieben."
Wie denken Sie, dass unten stehende Zahlfolge weitergeht?

folge

Sind Sie sicher? Warum?
Um Ihr Vertrauen etwas zu erschüttern, lösen Sie einmal folgende Aufgabe:
Notieren Sie von klein zu gross die ersten elf Teiler der Zahl 2520. Welche Zahl könnte also ebensogut hinter dem grünen Fragezeichen stecken?

Und noch eine Zahlfolge. Wie denken Sie, dass nachstehende Zahlfolge weitergeht?

folge2

Sicher? Dann lösen Sie folgende Aufgabe: Zählen Sie die Anzahl Flächenstücke in nachstehender Figurenfolge. Wieviele Flächenstücke ergeben sich in Figur Nr. 6, 7, 8?

kreispunkte

tab7

 

Eine Zahlfolge, von der man ein Anfangsstück kennt, kann auf x-beliebige Art weitergeführt werden. Man findet stets eine Regel zur selbst gewählten Fortsetzung.

Ist in einem "Intelligenztest" ein solches Anfangsstück gegeben, mit dem Auftrag "die nächste Zahl" zu suchen, kann man -als Witz- ebensogut antworten:



"Die nächste Zahl ist immer die Sieben."

Hierzu drei Beispiele:

 

Beispiel 1:
Welches Gesetz könnte dem Folgenstück
1,2,4,8,16,7
entsprechen? Lösung unten.

Beispiel 2:
Das Anfangsstück
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,7,...
passt zum Gesetz
a(n) = (-1/907'200)n10 + (1/20'160)n9 - (29/30'240)n8 + (1/96)n7 - (3013/43'200)n6 + (19/64)n5 - (4523/5670)n4 + (1303/1008)n3 - (7129/6300)n2 + (7/5)n + 1.
Dies erzeugt die Folge 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,7,-32,-251,...
Man findet dieses Gesetz durch "brute force", d.h. durch Auflösen eines Gleichungssystems mit 11 Unbekannten.

Beispiel 3:
0, 2, 3, 6, 7, ...
Diese Folge passt zu folgendem Gesetz: Man notiere in englischer Sprache in umgekehrter alphabetischer Reihenfolge die Zahlwörter zuerst aller einstelligen, dann aller zweistelligen, dann aller dreistelligen, usw. Zahlen. "Zero" steht im Alphabet zuhinterst, präzediert von "Two", "Three", "Six", "Seven", ... Wie lauten die nächsten sechs Folgeglieder? (Das Beispiel entstammt der "Online-Enzyklopädie der Zahlfolgen"; s. unten.)

In der "Online-Enzyklopädie der Zahlfolgen" können solche Folgenteile eingegeben werden. Die Enzyklopädie liefert mögliche Gesetze zu Folgenstücken.
-Geben Sie in der Online-Enzyklopädie der Zahlfolgen einmal das Stück 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12 ein. Sie erhalten als mögliches Gesetz:
"Niven- or Harshad-Numbers: numbers that are divisible by the sum of their digits." (Folge der Zahlen, die durch ihre Quersumme teilbar sind.) Es ergibt sich:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,18, 20, 21, 24, ...

- Eingabe von 1,2,4,8,16,31 liefert:
"Maximal number of regions obtained by joining n points around a circle by straight lines. Also number of regions in 4-space formed by n-1 hyperplanes."
Es ergibt sich 1,2,4,8,16,31,57, 99, 163, ... (s. Kreispunkte-Aufgabe links).

- Und hier eine Lösung zu Beispiel 1:
a(n) = Rest der Division 2n : 25, n = 0, 1, 2, ... Es entsteht 1, 2, 4, 8,16, 7, 14, 3, 6, ...

Eine gesetzmässig aufgebaute Zahlenfolge kann also nicht einfach durch Angabe einiger Anfangsglieder festgelegt werden. Wir benötigen eine Funktionsvorschrift, eine Regel (und nach Ludwig Wittgenstein die in gesellschaftlicher Konditionierung erlernte Fähigkeit, eine solche Funktionsvorschrift "richtig" anzuwenden).

 
 
 
 
  Einschub: Ludwig Wittgenstein und die Anwendung von Regeln:

In seinem Spätwerk "Philosophische Untersuchungen" (PU) weist Wittgenstein darauf hin, dass auch bei Angabe einer Formel, welche von einem Folgeglied zum nächsten führt, die Menschen durch Erziehung bzw. Abrichtung dazu gebracht werden, die Formel "richtig" anzuwenden, so dass alle, welche die gleiche Eingabe machen, zur gleichen Ausgabe kommen. Alle künftigen Übergänge von einem Folgeglied zum nächsten sind in der Formel "in einer seltsamen Weise" bereits "in irgend einem Sinn gegenwärtig" (Wittgenstein, PU 195).
Er fragt: Wenn ich an einer bestimmten Stelle der Folge bin: Wie kann die Regel mich lehren, was ich genau an dieser Stelle zu tun habe? Es ist die "Gepflogenheit", die mir sagt, wie es weitergehen soll (PU 198).

Das folgende Beispiel stammt nicht von Wittgenstein, illustriert jedoch dessen Gedanken:

  Man addiere (ausgehend vom Startwert 0) immer 2, um zum nächsten Folgeglied zu kommen. Gibt diese Regel eine klare Anweisung für die Erzeugung der Folge ad infinitum?

Die Antwort ist nicht so klar. Stellen wir uns unter den Zahlen der Folge Geschwindigkeiten (z.B. in km/h) vor. Wir addieren fortlaufend 2 km/h, um zum nächsten Folgeglied zu kommen. Nun wissen wir aus der Relativitätstheorie, dass wir die Lichtgeschwindigkeit (1'079'252'848.8 km/h) nicht überschreiten können. Die Addition +2 hat relativistisch zu erfolgen. Das hat zur Folge, dass bereits nach 50 Iterations-Schritten "+ 2 km/h" das Resultat statt 100 km/h nur 99.99999999999973 km/h beträgt.

Hier entspricht der Regel "immer + 2" ein anderer Gebrauch, eine andere "Abrichtung", nämlich die durch die Relativitätstheorie erzeugte "Gewohnheit" der Addition von Geschwindigkeiten. Die Regel "+2" ist eingebettet in einen Gebrauch, in einen Kontext. Das Pluszeichen hat hier eine andere Bedeutung.
 
 
 
 
  15. Längstmögliche Wege in einem Zug im Quadratgitter      
 

Gegeben sind Quadratgitter wie unten gezeigt. Die Länge eines kleinen Gitterquadrätchens sei 1. Man startet bei einem Gitterpunkt und sucht einen möglichst langen zusammenhängenden Weg entlang der Gitterlinien.

a) Einstöckige Gitter (obere Zeile): Man entwickle eine Formel für die Folge der maximalen Weglängen bei einstöckigen Gittern: 4, 7, ...

b) Gleiche Aufgabe für die zweistöckigen Gitter (untere Zeile).

gitterwege1

 

c) Nun betrachten wir nur noch quadratische Gitter. Man entwickle eine Formel für die maximal möglichen Weglängen in den quadratischen Gittern. Das heisst: Wenn ich bei einem Gitterpunkt starte und mit Bleistift einen möglichst langen zusammenhängenden Weg entlang der Gitterlinien zeichne: Wie lange wird dieser Weg?
Dasselbe in Form eines Streichholzrätsels: Ich lege die Gitter mit Streichhölzern. Dann entferne ich Streichhölzer so, dass die entfernten Streichhölzer einen fortlaufenden Weg bilden. Wieviele Streichhölzer kann ich maximal entfernen?

gitterwege2

 
 
 
 
 

Hinweise zur Lösung:

Im 1x2-Gitter von Aufgabe b) oben findet man sofort Wege, welche jede Teilstrecke genau einmal durchlaufen ("vollständige Reise") . Dabei darf man Knoten durchaus mehrfach passieren, jede Teilstrecke darf aber nur einmal durchlaufen werden. Ein Gitter, bei dem jede Teilstrecke genau einmal durchlaufen werden kann, sei in Anlehnung an Eulers Brückenproblem "eulersches Gitter" genannt.
Es scheint, dass das 2x4-Gitter von Aufgabe b) nicht eulersch ist (wir finden höchstens einen Weg der Länge 18, müssen also 2 Strecken unpassiert lassen). Tatsächlich können wir dies beweisen (s. Spalte rechts).

gitterwege3

Ein Knoten, der nur Durchgangsknoten (also weder Anfangs- noch Endknoten) ist, muss in einem eulerschen Gitter eine gerade Anzahl Wegverzweigungen aufweisen, da jedem einlaufenden Weg sofort ein weggehender Weg folgt. Man sagt: Die Ordnung eines solchen Knotens sei gerade (Beispiel: der hellgrüne Knoten im Gitter oben). Die 12 orange gefärbten Knoten haben dagegen ungerade Ordnung (Ordnung 3). Knoten ungerader Ordnung müssen aber entweder Anfangs- oder Endknoten der Reise sein. Nun kann es bei einer Reise nur einen Anfangs- und einen Endknoten geben (diese können ev. auch zusammenfallen). In einem eulerschen Gitter ist die Anzahl der Knoten ungerader Ordnung (die Anzahl "oranger" Knoten) also höchstens gleich 2. Wir sehen also bereits, dass obiges Gitter nicht eulersch ist.

Wir können also in obigem Netz gar nicht alle Strecken durchlaufen.

Wir eliminieren orange Knoten, bis nur noch 2 solche übrigbleiben. Das tun wir, indem wir Teilstrecken löschen (die wir dann nicht begehen). Wenn wir es geschickt anstellen, können wir mit dem Löschen einer einzigen Teilstrecke gleich 2 orange Knoten in Knoten gerader Ordnung (in "hellgrüne Knoten") umwandeln. Dies geht jedoch nicht immer; am Schluss muss ev. ein Wegstück gelöscht werden, das nur einen einzigen orangen Knoten in einen hellgrünen verwandelt:

 

gitterwege4

Beim Löschen von Teilstücken sollen auch keine Sackgassen entstehen. Oben wurden die 6 violetten Stücke gelöscht. Nun sind nur noch 2 Knoten von ungerader Ordnung: der rote (den wir als Startknoten wählen) und der blaue (welcher der Zielknoten wird). Natürlich sind andere Lösungen möglich, wir sehen aber leicht, dass wir auf jeden Fall 6 Wegstücke löschen müssen, um die Zahl der ungeraden Knoten auf 2 zu reduzieren.
Das entstehende Netz (ohne die violetten Strecken) ist nun eulersch. Der Algorithmus von Fleury zeigt, dass ein solches Netz auf jeden Fall vollständig durchlaufen werden kann (Demofilmchen hier).

Für das 4x4-Gitter finden wir also einen maximalen Weg von Länge 34 (von ursprünglich total 40 Teilstrecken).

Mit Hilfe dieser Hinweise findet man nun eine Lösung von Teilaufgabe c). Dazu sind noch folgende Vorüberlegungen zu machen:

  • Wieviele Teilsegmente hat ein nxn-Gitter total?
  • Wieviele ungerade Knoten hat ein nxn-Gitter?
  • Wieviele Teilsegmente müssen für ungerades n ≥ 3 eliminiert werden, um ein eulersches Gitter zu erhalten?
  • Wieviele Teilsegmente müssen für gerades n eliminiert werden, um ein eulersches Gitter zu erhalten?
  • Der Fall n = 1 ist klar und wird separat betrachtet.

Aufgrund dieser Überlegungen kann für gerade und für ungerade n separat eine Formel für die maximale Weglänge gefunden werden.

Wir finden folgende maximale Weglängen (n = 1, 2, 3, 4, ...):
4, 10, 21, 34, ...

Wer eine vollständige Erklärung sucht, gibt diese Folge in der Online-Enzyklopädie der Zahlfolgen ein: Man findet als ersten Eintrag: Maximum length of non-crossing path on nxn-square lattice: 4, 10, 21, 34, 53, 74, 101, 130, ...
Anschliessend folgt eine Herleitung der Zahlen dieser Folge.

 
 
 
 
 

16. Coffee Time in Memphis

espresso

Dies ist der Untertitel eines Buches, das voller hochkarätiger mathematischer Knacknüsse ist: Béla Bollobás: The Art of Mathematics - Coffee Time in Memphis, Cambridge University Press, 2006, ISBN 978-0-521-69395-0. Eine illustre Gruppe von Mathematikern in Memphis traf sich regelmässig zum Kaffee in Bollobás' Büro. Dabei wurde jeweils ein mathematisches Problem gestellt und erörtert. Unabdingbare Forderung: Es musste "enjoyable" sein. Was aber ist ein "enjoyable problem"?

Hier drei auch Laien zugängliche Beispiele aus diesem sonst eher für Mathematiker gedachten Buch:

a) Zeige, dass unter n + 1 natürlichen Zahlen, von denen keine grösser als 2n ist, mindestens zwei Zahlen existieren, so dass die eine durch die andere teilbar ist.

b) Man hat ein quadratisches Stück Papier. Auf dieses Papier soll ein Dreieck mit grösstmöglichem Flächeninhalt gezeichnet werden. Auf wieviele % der Quadratfläche bringt es so ein maximales Dreieck?

c) Man zeige, dass jedes beliebige konvexe Vieleck mit Flächeninhalt 1 einem Rechteck von Flächeninhalt 2 einbeschrieben werden kann.

 
bollobas  

Was Ballobás als "enjoyable problem" bezeichnet, ist in der Mathematikdidaktik von Peter Gallin / Urs Ruf ein "Auftrag".

Siehe
http://de.wikipedia.org/wiki/Dialogisches_Lernen
http://www.lerndialog.uzh.ch/model.html

sp_u_m

Ein "enjoyable problem" zeigt oft folgende Merkmale:

  • Einfache Aufgabenstellung; man hat sogar oft das Gefühl, "zu wenig" Angaben erhalten zu haben, was jedoch nicht der Fall ist.
  • Die Lösung ist nicht einfach eine Routineangelegenheit, sondern verlangt oft etwas Einfallsreichtum, ohne jedoch hochspezialisiertes Wissen zu benötigen. "Pictouresque" Lösungen - oft mit elementaren Mitteln möglich - sind gefragt.
  • Oft weisen solche Probleme verschiedene "Tiefen" auf: Auf einem etwas oberflächlichen Niveau kann man herumexperimentieren, auf tieferen Niveaus gelangt man in mathematisch interessante Sphären.
    Ein Beispiel dafür ist auch Problem 15 oben: Man kann möglichst lange Wege im Quadratgitter einfach experimentell suchen. In weiteren "Tiefenlevels" kann man die Aufgabe zunehmend mathematisch anpacken und gelangt so ins Gebiet der Graphentheorie.
 
 
 
 
  17. Quadratgitter, 2.Teil: diagonale Wege ("Billardtisch")      
 

Ein Billardtisch habe die Länge x und die Breite y. Wir nehmen zunächst an, dass x und y teilerfremd sind.

billardtisch

Von unten links wird ein Stoss im Winkel von 45° geführt. Schliesslich landet die Kugel nach etlichen Bandenberührungen im Loch unten rechts (Ecke B).

Literatur:
Georg Polya: Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1, Birkhäuser 1969, p.240
Nigel Langdon, Charles Snape: Mathematische Schatzkiste, Klett-Verlag 2006, ISBN 3-12-722760-4

 

Man kann z.B. folgende Fragen untersuchen:

 

a) Wieviele rote Einheiten lang (s.Bild links) ist der Weg vom Start bis zum Zielloch? (Eine "rote Einheit" ist die Länge der Diagonale eines kleinen Quadrätchens des Gitters.)

b) Seien a(x,y), b(x,y), c(x,y) und d(x,y) die Anzahl Bandenberührungen an den Seiten a, bzw. b, c, d. Entwickeln Sie eine Formel dafür (in Abhängigkeit von x und y).

c) Können Sie das Ziel-Loch (A, B, C oder D) aus den Masszahlen x und y vorhersagen?

d) Lassen sich die Ergebnisse von a) bis c) auf nicht notwendig teilerfremde x und y verallgemeinern?

e) Wie entsteht der Knoten unten links aus dem Gitternetz (hier liegt ein 8x4-Gitter vor)? Der abgebildete Knoten kann in einem Zug durchlaufen werden und der Weg führt durch sämtliche Teilquadrätchen. Bei welchen Wahlen von x und y ist dies der Fall, bei welchen nicht?
Wie lange ist der Knotenweg ausgedrückt durch x und y?
Bei einem 8x5-Gitter wäre das Zeichnen eines solchen Knotens nicht möglich. Welche Gitter ermöglichen das Zeichnen solcher Knoten, welche nicht?

knotenband                      jokwe

Links: "Billardtisch-Knoten"; rechts: Knotenfigur der Jokwe, Angola.

 
 
 
 
  18. Das Schubfachprinzip (Pigeon-hole principle)      
 

pigeonhole

a) Gibt es in der Stadt Zürich zwei nicht kahlköpfige Personen, die exakt gleich viele Haare auf dem Kopf haben? (Niemand hat mehr als 300'000 Kopfhaare.)

b) Aus der Vorrunde der Schweizerischen Mathematik-Olympiade 2011:
An der Tafel stehen 11 natürliche Zahlen. Zeige, dass man aus diesen Zahlen einige (vielleicht alle) wählen und dazwischen die Zeichen + und - so platzieren kann, dass das Ergebnis durch 2011 teilbar ist.

(Mit 11 Zahlen kann diese Aufgabe bis ins Jahr 2047 gestellt werden mit der Bedingung, dass das entstehende Ergebnis durch die aktuelle Jahreszahl geteilt werden kann. Ab dann sollten 12 Zahlen an der Tafel stehen. "11 Zahlen" im Jahr 2011 war natürlich besonders schön.)

 

Das Schubfachprinzip in seiner einfachsten Form:

Sind mehr als n Gegenstände in n Schubladen zu verstauen, so enthält mindestens eine Schublade mehr als einen Gegenstand.

 

Links zum Schubfachprinzip und zur Schweizerischen Mathematik-Olympiade:

Wikipedia
IMOSuisse, Aufgaben
IMOSuisse: Monatsaufgaben
Buchtipp: Diskrete Mathematik für Einsteiger
Pigeon-hole principle: fun applications

 
 
 
 
 

Ein weiteres Beispiel für die Anwendung des Schubfachprinzips
Quelle: http://www.ihp.fr/en/audiovisual. Video-Vorlesung von Valentin Feray, Universität Zürich, gehalten am Institut Henri Poincaré, 9.11.2013

Satz: Jede reelle Zahl x kann wie folgt durch einen Bruch p / q angenähert werden:
Man wählt eine natürliche Zahl n als obere Begrenzung des Nenners q. Man findet dann einen Zähler p, sodass der Betrag der Abweichung | x - p/q | ≤ 1/(nq) ist.

Beweis: (Wir beschränken uns o.B.d.A. auf positive x.)
Zu einer reellen Zahl x definieren wir mit dem Zeichen {x} den Nachkomma-Teil von x. Beispiel: {π} = 0.14159...
Wir betrachten {0x}, {1x}, {2x}, ..., {nx}. Das sind n+1 Zahlen zwischen 0 und 1.
Nun definieren wir folgende Schubladen:
[0, 1/n[, [1/n, 2/n[, ... , [(n-1)/n, 1[. Das sind n Schubladen.
Wir versorgen die n+1 Zahlen in die n Schubladen. Nach dem Schubfachprinzip gibt es mindestens 1 Schublade, die mehr als eine Zahl enthält. Seien {ix} und {jx} in derselben Schublade, d.h. | {ix} - {jx} | ≤ 1/n.
Es folgt die Existenz einer Ganzzahl p mit | (ix - jx) - p | ≤ 1/n.
Mit q = | i - j | folgt | qx - p | ≤ 1/n und somit | x - p/q | ≤ 1/(nq), q.e.d.

 

Illustration des Satzes links am Beispiel von π und n = 10. Gesucht ist also ein Näherungsbruch für π mit Nenner ≤ 10

{0π} = 0,      {1π} ≈ 0.14, {2π} ≈ 0.28, {3π} ≈ 0.42, {4π} ≈ 0.56,   {5π} ≈ 0.71,
{6π} ≈ 0.85, {7π} ≈ 0.99, {8π} ≈ 0.13, {9π} ≈ 0.27, {10π} ≈ 0.42. (11 Zahlen)

10 Schubladen:
[0, 0.1[, [0.1, 0.2[, [0.2, 0.3[, , ... [0.9, 1[

Folgende Schubladen enthalten 2 Zahlen:

[0, 0.1[   enthält {0π} und {8π}
[0.2, 0.3[ enthält {2π} und {9π}
[0.4, 0.5[ enthält {3π} und {10π}.

Es ist also | {10π} - {3π} | = 0.00885... ≤ 1/10 => | 10π - 3π - p | = | 7π - p | ≤ 1/10.

Es ergibt sich p = 22 und q = 7 und | π - p/q | = | π - 22/7 | ≤ 1/70.

 
 
 
 
  19. Lassen sich die Brüche in eine Lese-Reihe bringen?      
 

Im Jahr 1878 entdeckte Georg Cantor, dass sich die Menge der Bruchzahlen "aufreihen" lässt - natürlich nicht der Grösse nach. Dies ist erstaunlich, liegen die Brüche doch "unendlich dicht" auf der Zahlgeraden: Zwischen zwei noch so nahe beisammen liegenden Bruchzahlen befinden sich unendlich viele weitere und dazwischen erneut unendlich viele... Und dieses "Chaos" sollte in eine Lese-Abfolge gezwungen werden können?
Für einen dialogisch-heuristischen Zugang zu diesem Thema siehe hier.

Cantor ordnete die Brüche wie folgt (Schema leicht modifiziert):

bruchaufzaehlung

 

Der Einfachheit halber lassen wir erweiterte Brüche, die denselben Wert wie früher aufgezählte Brüche haben, stehen (und zählen sie noch einmal auf). Wir lesen die abgebildete Pyramide von oben nach unten und von links nach rechts (wie einen normalen Lesetext). Denken wir uns die Pyramide unten ins Unendliche fortgesetzt, passieren wir beim Lesen sämtliche Brüche, ohne einen einzigen auszulassen (wie gesagt lesen wir nach 1/2 auch 2/4, 3/6, usw. noch einmal, was uns hier aber nicht stören soll).

Eine unendliche Menge, die in eine Leserichtung gezwungen werden kann, so dass jedes Element irgendwann aufgezählt wird, wird abzählbar unendlich genannt. Die Menge der Brüche ist also abzählbar unendlich und somit von gleicher Unendlichkeitsstufe wie die Menge der Natürlichen Zahlen.

Jeder Bruch a/b erhält durch diese Pyramide eine Platznummer n(a,b). Beispiel: 2/3 steht auf Platz Nr. 8, 2/4 auf Platz Nr. 12, 3/3 auf Platz Nr. 13, usw.

a) Welche Platznummer hat der Bruch 577/408?

b) Welcher Bruch steht auf Platz 100 ?

c) Man entwickle eine Formel für die Platznummer n(a,b) des Bruches a/b.

Lösungen und weitere Details zu Brüchen und reellen Zahlen hier (pdf).

 
 
 
 
  20. Allgemeine Argumentationen mittels Termumformungen      
 

Die folgenden sehr einfachen Aufgaben a) bis c) stammen aus Fischer, Roland; Malle, Günther: Mensch und Mathematik, Mannheim, Wien, Zürich, Bibliographisches Institut, 1985, ISBN 3-411-03117-4, p.72:

 

a) Denke dir eine Zahl. Addiere 10. Verdopple das Ergebnis und subtrahiere das Doppelte der ursprünglichen Zahl. Du erhältst 20. Warum funktioniert das für jede gedachte Zahl?

 

b) Das um 1 verminderte Quadrat einer natürlichen Zahl ist nur für die Zahl 2 eine Primzahl. Man beweise diese Aussage.

 

c) Untersuche die folgenden Aussagen:

  • 3⋅1 + 1 = 2⋅2
  • 6⋅4 + 1 = 5⋅5
  • (7/2)⋅(3/2) + 1 = (5/2)⋅(5/2)
  • 2.1⋅0.1 + 1 = 1.1⋅1.1

d) Und hier eine Aufgabe aus Deiser,O., Lasser,C., Vogt,E., Werner,D.: 12x12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik, Heidelberg, Spektrum-Verlag, 2011, ISBN 978-3-8274-2297-2:
Seien x, y und n ganze Zahlen. Zeigen Sie: Die Gleichung x2 + y2 = n hat keine ganzzahligen Lösungen x, y, wenn n bei Division durch 4 Rest 3 ergibt.

e) Schnelles Quadrieren: Will man 652 ermitteln, kann man so vorgehen:
Man rechnet 60⋅70  + 25 = 4225. Dies funktioniert auch bei andern Fünferzahlen:
452 = 40⋅50  + 25 = 2025. Begründen Sie diesen "Trick".

 
 
 
 
  21. Punkte teilen eine Gerade, Geraden teilen eine Ebene, Ebenen teilen den Raum      
 

schaufenster

a) Man zeichne eine Gerade. Darauf setze man n = 0, 1, 2, 3, 4, ... Punkte. In wieviele Teilstücke wird die Gerade dadurch unterteilt?

b) Man nehme eine Ebene, z.B. ein leeres Blatt Papier. Man zeichne darauf in möglichst allgemeiner Lage n = 0, 1, 2, 3, 4, ... Geraden (so, dass jeweils möglichst viele neue Teilfelder entstehen). In wieviele Teilfelder wird die Ebene jeweils unterteilt?

c) Und nun das Schwierigste: Man denke sich den Raum durch n = 0, 1, 2, 3, 4, ... Ebenen unterteilt (wieder so, dass möglichst viele neue Raumteile entstehen). In wieviele Raumteile wird der Raum dadurch jeweils unterteilt? Wie steht es z.B. für n=5?

Dieses Problem wurde vom bekannten Mathematiker Georg Pólya gerne auch mathematischen Laien gestellt.
Näheres hier. (Aus: Pólya: Mathematik und plausibles Schliessen, Birkhäuser, Bd.1, 3.Auflage 1988)

 

Hier einige Lösungen: g(n) = Anzahl Geradenteile bei Teilung einer Geraden durch n Punkte, f(n) = grösstmögliche Anzahl Flächenteile bei Teilung einer Ebene durch n Geraden, r(n) = grösstmögliche Anzahl Raumteile bei Teilung des Raumes durch n Ebenen.

n g(n) f(n) r(n)
0 1   1   1
1 2   2   2
2 3   4   4
3 4   7   8
4 5 11 15
5 6 16   ?

d) Finden Sie für die Entwicklung der f(n)-Spalte eine anschauliche Erklärung und ein Gesetz? Man kann ein rekursives Gesetz finden, d.h. ein Gesetz, das f(n+1) aus f(n) berechnet oder ein funktionales Gesetz, das f(n) direkt aus n berechnet. Können diese Gesetze anschaulich-geometrisch begründet werden?

e) Gibt es eine Beziehung zwischen f(n)- und r(n)-Werten? Lässt sich auch eine solche Beziehung anschaulich begründen? Lässt sich eine Formel für r(n) direkt aus n finden?

 
 
 
 
  22. Diophantisches, 1.Teil      
 

Diophantus von Alexandrien war ein Mathematiker des antiken Griechenlands. Heute nennt man Gleichungen mit ganzzahligen Lösungen ihm zu Ehren diophantische Gleichungen.

Problem 1: Das Altersrätsel um Diophantus
Das Rätsel ist in der Form der griechischen Hexameter verfasst. Hier eine stilisiertere Form (Quelle: Ch.Snape, H.Scott: Mathematischer Zauberkasten, Klett, 1995) :

  • Diophantus' Kindheit dauerte ein Sechstel seines Lebens.
  • Nach einem weiteren Zwölftel liess er sich einen Bart wachsen.
  • Nach einem weiteren Siebtel heiratete er.
  • Fünf Jahre danach wurde sein Sohn geboren.
  • Dieses Kind lebte nur die Hälfte der Lebensjahre seines Vaters.
  • Diophantus starb vier Jahre nach seinem Sohn.

Wie lange lebte Diophantus?

* * *

Problem 2: Die diophantische Gleichung ax + by = c
a, b, c, x und y sollen ganze Zahlen sein. Eine solche ganzzahlige Gleichung wird diophantische Gleichung genannt.

Satz:
Die diophantische Gleichung ax + by = c (a, b, c ganze Zahlen) ist genau dann ganzzahlig lösbar, wenn der grösste gemeinsame Teiler (ggT) von a und b auch ein Teiler von c ist.

Der Beweis benützt die Tatsache, dass der ggT d von a und b als ganzzahlige Linearkombination von a und b dargestellt werden kann: d = λ⋅a + μ⋅b (s. Kasten rechts). Mit Hilfe dieser Tatsache kann der Beweis leicht geführt werden. Versuchen Sie, diesen Beweis zu führen.

Aufgabe:
Suchen Sie (alle) ganzzahligen Lösungen der diophantischen Gleichung
a) -x + 2y = 3
b) 851x + 444y = 111.

(Wie findet man weitere Lösungen, wenn man bereits irgendeine Lösung (eine sogenannte Partikularlösung) gefunden hat? Dies ist bereits eine recht knifflige Aufgabe. Tipp: Zeigen Sie dass die Differenz zweier Lösungen von ax + by = c eine Lösung der homogenen Gleichung ax + by = 0 ist und suchen Sie alle Lösungen dieser homogenen Gleichung. Die allgemeinen Lösungen sind dann gleich homogene Lösungen plus Partikularlösung. Näheres: s. Link unten.)



Lösungsverfahren für diophantische Gleichungen ax + by = c hier.

 

Die "Wechselwegnahme" von Euklid zur Bestimmung des grössten gemeinsamen Teilers

Beispiel: Man bestimme den ggT (grössten gemeinsamen Teiler) von 144 und 15.

In der geometrischen Denkweise der alten Griechen lautete die Aufgabe: Man hat eine Strecke der Länge 144 und eine der Länge 15. Man finde ein gemeinsames Mass, das in beiden Strecken aufgeht und möglichst gross ist.
Euklids "Handwerkmethode" geht so:
Trage die kleinere Strecke möglichst oft in der grösseren ab. Es bleibt ein Rest 9:

gmsmass

Das gemeinsame Mass ist auch gemeinsames Mass von 15 und 9.
Nun tragen wir 9 in 15 ab. Es bleibt Rest 6. Das gemeinsame Mass ist auch darin enthalten, ist also gemeinsames Mass von 9 und 6.
Wir tragen 6 in 9 ab. Es bleibt Rest 3. Das gemeinsame Mass ist also auch gemeinsames Mass von 6 und 3. Wir tragen 3 in 6 ab: Es geht auf. Das gemeinsame Mass ist 3.

Wir führen dies noch rechnerisch aus:

  • 144 - 9⋅15 = 9
  • 15 - 1⋅9 = 6
  • 9 - 1⋅6 = 3
  • 6 - 2⋅3 = 0. Ende des Verfahrens: 3 ist das gemeinsame Mass.

Dieses Verfahren kann benützt werden, um den ggT (hier 3) als Linearkombination der ursprünglichen Zahlen (hier von 144 und 15) darzustellen:

3 = 9 - 6 = 9 - (15 - 9) = 2⋅9 - 15 = 2⋅(144 - 9⋅15) - 15 = 2⋅144 - 10⋅15.

3 = 2⋅144 - 10⋅15.

Dieses Verfahren zeigt:
Sei d der ggT von a und b. Dann kann d als gamzzahlige Linearkombination von a und b dargestellt werden:
d = λ⋅a + μ⋅b.

Aufgabe: Stellen Sie den ggT von 851 und 444 als Linearkombination von 851 und 444 dar.

 
 
 
 
  Im Zusammenhang mit der euklidschen Wechselwegnahme kann folgende Aufgabe aus der allerersten Internationalen Mathematik-Olympiade von 1959 gestellt werden. Die Aufgabe zeigt, dass 1959 einige der gestellten Probleme noch deutlich leichter waren als heutzutage (s. z.B. Nr. 35 unten).   IMO 1959, Nr. 1: For every integer n prove that the fraction
(21n + 4) / (14n + 3) cannot be reduced any further.
 
 
 
 
  23. Diophantisches, 2.Teil   24. Diophantisches, 3.Teil  
 

Problem 3: Pythagoräische Zahlentripel

345dreieck

Dies sind ganzzahlige Lösungen der Pythagoras-Gleichung x2 + y2 = z2.
Beispiele: 32 + 42 = 52;  52 + 122 = 132. Die Lösungen stellen die ganzzahligen Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks ("pythagoräisches Dreieck" genannt) dar.

Das rechtwinklige 3 : 4 : 5-Dreieck wurde angeblich bereits im alten Ägypten von den "Seilspannern" (Harpedonapten) verwendet: Ein geschlossenes Seil wurde mittels Knoten in 12 gleich grosse Abschnitte eingeteilt. Spannte man mit dieser "Zwölfknotenschnur" ein 3:4:5-Dreieck auf, entstand ein rechter Winkel, der für Bau- und Feldmessungen benützt werden konnte.

Man findet alle gekürzten pythagoräischen Zahlentripel durch die bereits den alten Griechen bekannten Formeln

2mn;     ( m2 - n2);     ( m2 + n2),

wobei m, n natürliche, zueinander teilerfremde Zahlen sind, m > n. m und n müssen ferner verschiedene Parität haben (d.h. sind gerade / ungerade oder ungerade / gerade).

Beispiel: m = 5, n = 2 erzeugt das pythagoräische Tripel 20; 21; 29.
Erzeugen Sie mit Hilfe obiger Formeln einige pythagoräische Tripel.

Genaueres und eine Herleitung obiger Formeln hier. (pdf)

Aufgabe: Beweisen Sie mit Hilfe obiger Formeln

a) In jedem pythagoräischen Zahlentripel kommen eine durch 3, eine durch 4 und eine durch 5 teilbare Zahl vor (die Eigenschaften können sich in einer der Zahlen kumulieren).

b) Die Flächeninhalte aller pythagoräischen Dreiecke (d.h. aller ganzzahliger rechtwinkliger Dreiecke) sind stets ein Vielfaches von 6.

c) Das Produkt der 3 Zahlen eines pythagoräischen Tripels ist durch die Summe der 3 Zahlen ohne Rest teilbar.

d) Sei die Hypotenuse eines ganzzahligen rechtwinkligen Dreiecks eine Primzahl ≥ 3. Welche Primzahlen kommen als Hypotenuse in Frage, welche nicht?

(Teilaufgabe d nach Georg Pòlya: Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1, p. 101ff, Birkhäuser, 2. Auflage, 1969.)

 

Problem 4: Polygone im ganzzahligen Punktgitter

 

Dies ist eine recht knifflige Aufgabe.

 

Gegeben ist ein Polygon mit Ecken auf ganzzahligen Gitterpunkten. Finden Sie eine Formel, welche die Fläche des Polygons aus der Anzahl i der im Innern des Vielecks liegenden Gitterpunkte und der Anzahl r der auf dem Rand liegenden Gitterpunkte angibt.

Beispiel:

 

gitterpolygon

Gitterpolygon mit r = 15 Randpunkten (rot) und i = 109 Innenpunkten (grau) mit einem Loch. Flächeninhalt 116.5 Häuschen.

Arbeiten Sie zunächst mit einfacheren Polygonen ohne Loch, d.h. finden Sie eine Formel für Gitterpolygone ohne Loch:

 

gitterpolygon

Erst dann kann die Frage angegangen werden, wie ein Loch die Formel verändert. Die Formel für Polygone mit Loch ist leicht verschieden von derjenigen ohne Loch.

 
 
 
 
  25. Diophantisches, 4.Teil      
 

Problem 5: Diophantische Vektoren

ganzqu1   ganzqu2

Obenstehende Vektor-Tripel haben eine ganz besondere "diophantische" Eigenschaft, d.h. abgesehen davon, dass ihre Koordinaten ganzzahlig sind, sind noch zwei weitere Eigenschaften "versteckt" (die eine hat wiederum mit Ganzzahligkeit zu tun).

Finden Sie die gesuchten Eigenschaften?

  Wie man solche Vektor-Tripel erzeugen kann, wird hier näher erläutert. (Pdf zum Thema "ganzzahlige Quader mit ganzzahligen Eck-Koordinaten", d.h. Quader im ganzzahligen Raumgitter mit ganzzahligen Kantenlängen.)  
 
 
 
  26. Ramsey's Theorem      
 

renoir
Renoir: Déjeuner des canotiers
Bildquelle:
http://en.wikipedia.org/

Wenn Sie mit andern Personen irgendwo eingeladen sind, so gibt es für je zwei Personen unter den Gästen genau zwei Möglichkeiten: Die beiden Personen kennen sich bereits oder sie kannten sich bisher noch nicht.

Zeigen Sie: Wenn sich 6 Personen treffen, so gibt es stets mindestens 3 Personen, die sich gegenseitig bereits kennen (Clique von mindestens 3 Personen) oder 3 Personen, die sich gegenseitig bisher noch nicht kannten ("Anti-Clique" von mindestens 3 Personen).

Falls Sie die Sache grafisch darstellen wollen, wählen Sie für die Relation "kennen sich bereits" die Farbe Grün, für die Relation "kannten sich bisher noch nicht" die Farbe Rot.

 

Ramsey's Frage war: Wieviele Personen müssen mindestens eingeladen werden, sodass mindestens m Personen sich kennen oder mindestens m Personen sich bisher noch nicht kannten? (m = 0, 1, 2, 3, 4,...). Diese minimale Anzahl Geladener ist die Ramseyzahl R(m).

 

Ramsey hat bewiesen: Zu jedem m gibt es eine Ramseyzahl R(m).

 

Das Problem ist jedoch nur bis m = 4 sicher gelöst. Für m = 5 weiss man bisher nur, dass R(m) zwischen 43 und 49 liegen muss.

 

Siehe: Ramsey's Theorem (Wikipedia)

 
 
 
 
  27. Irrational hoch irrational = rational?      
  Gibt es zwei irrationale Zahlen x und y, für die xy rational, also eine Bruchzahl, ist?      
 
 
 
  28. Ein Quadrat in n flächengleiche Rechtecke teilen      
 

Auf wieviele Arten lässt sich ein Quadrat in

a) 1   
b) 2   
c) 3   
d) 4   
e) 5

flächengleiche Rechtecke teilen?


Die Rechtecke müssen flächengleich, jedoch nicht kongruent sein.

 

quteilen

Eine mögliche Teilung für n = 4. Wie sind die Längen und Breiten der Teilrechtecke bemessen, wenn die Quadratseite Länge 1 hat? Wie sehen die andern Aufteilungen des Quadrats in 4 flächengleiche Rechtecke aus?

 
 
 
 
 

Exkurs: Quadrat in n flächengleiche Dreiecke teilen

Satz: Dies geht genau für gerade n.

Der Beweis ist nicht einfach.

Rechts eine Pflästerung für n = 12. Jedes Teildreieck hat Fläche 1/12, wenn das Quadrat das Einheitsquadrat ist.

  • Man bestimme die Koordinaten der Eckpunkte des roten Dreiecks, wenn das Quadrat die Eckoordinaten (0 | 0), (1 | 0), (1 | 1) und (0 | 1) hat.
  • Ist das rote Dreieck rechtwinklig oder nicht?
  qu12dreiecke
Quelle: Béla Ballobás: The Art of Mathematics - Coffee Time in Memphis, Cambridge 2006
 
 
 
 
  29. Eine Gleichung  

30. Seltsame Kilometerstände

 
 

Man bestimme die Lösungsmenge für x:

 

logx(73) - log7(x) = 2


 

kmzaehler
Frau Klug mietet für einen Transport ein Auto. Beim Start schaut sie auf den Kilometerzähler. "Interessanter Kilometerstand", denkt sie, "78987 km, diese Zahl kann man von links nach rechts oder von rechts nach links lesen." Mit dieser Spiegelzahl auf dem Zähler fährt sie los, auf Landstrassen, durch verschiedene Dörfer, aber nie auf Autobahnen, bis sie -merkwürdige Autofahrt!- nach genau zwei Stunden ihr Ziel erreicht. - Doch die nächste Merkwürdigkeit folgt sogleich: Wie sie am Ziel auf ihren Kilometerzähler schaut, zeigt dieser erneut eine Spiegelzahl.

Mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit ist Frau Klug gefahren?

 
 
 
 
  31. Vier kleinere Zahlrätsel    
 

a) Man bilde eine Zahl aus lauter Ziffern 1 und zwar mit einer geraden Anzahl von Ziffern. Davon subtrahiere man die Zahl, die nur halb so viele Ziffern besitzt und die nur aus Ziffern 2 besteht.

Man zeige, dass die entstehende Differenz stets eine Quadratzahl ist.

 

Beispiel:


111111 - 222 = 110'889 = 3332.

 

b) Ohne Computer zu lösen:
Mit wievielen Nullen endet die Zahl 100! ("100 Fakultät"), d.h. die Zahl
100⋅99⋅98⋅...⋅1 ?

 

c) Wieviele Ziffern besitzt die folgende Zahl (die grösste, die man mittels der "üblichen" Rechenoperationen aus drei Ziffern herstellen kann)? Taschenrechner mit log-Taste erlaubt.
9hoch

Wie lange ungefähr wäre ein Papierstreifen, der diese ausgeschriebene Zahl in Schriftgrösse 10 (Courier, d.h. jedes Zeichen hat gleiche Breite) enthielte?
Schriftprobe in Schriftgrösse 10:
0000000000 (10 Zeichen <-> 1.5 cm)

d) Wie lautet die Endziffer folgender Zahl?
99999hoch

 
 
 
 
  32. Ein Altersrätsel    
  Anna - heute 24 Jahre alt - hat einen Bruder, Linus, dessen gegenwärtiges Alter wir wissen möchten. Anna sagt:
"Früher, als Linus 12 Jahre alt war, war ich so alt, wie Linus heute ist."
Wie alt ist Linus heute?
     
 
 
 
  33. Spaghettibruch    
 

Ein Stab bricht durch n Bruchstellen in n+1Teile. Wir nehmen an, die Bruchstellen entstünden völlig zufällig (jede Bruchstelle sei gleich wahrscheinlich). Wie gross ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass mit den Bruchstücken ein konvexes (n+1)-Eck gelegt werden kann?
Da diese Aufgabe sehr schwierig ist, beschränken wir uns auf n = 2 (s. Bild rechts), d.h. wir könnten die Aufgabe so formulieren:

Ein Spaghetti bricht an 2 zufällig "gewählten" Stellen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, mit den 3 Teilen ein Dreieck legen zu können?

Tipp: Man wähle Stab- oder Spaghetti-Länge =1. Dann gilt für alle n:
Ein konvexes n-Eck kann nicht gelegt werden, wenn eines der Bruchstücke eine Länge von ≥1/2 aufweist. Gilt auch die Umkehrung?

   spaghetti    zerbrstab
Bildquelle Bild links: hier
 
 
 
 
  34. Eine Aufgabe aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung      
 

In einer Schulklasse befinden sich 25 Kinder, 15 Knaben und 10 Mädchen. Die Lehrerin wählt zufällig 2 Kinder aus. Sie bemerkt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine geschlechtergemischte Zweiergruppe entsteht, gerade 1/2 beträgt.

Mit welchen andern Personenzahlen (Klassengrösse, Anzahl Knaben bzw. Mädchen) wäre die Wahrscheinlichkeit ebenfalls 1/2, beim zufälligen Auswählen von 2 Personen eine geschlechtergemischte Zweiergruppe zu erhalten?

 

 

 
 
 
 
  35. Internationale Mathematik-Olympiade light      
 

Die Internationale Mathematik-Olympiade (IMO), ein Wettbewerb für mathematisch hochbegabte Personen, zu dem jedes Land 6 Teilnehmerinnen oder Teilnehmer entsenden darf, existiert seit 1959 (s. Link hier). Eine der schwierigsten Aufgaben war im Wettbewerb 1986 enthalten:
An den Ecken eines Fünfecks steht je eine ganze Zahl; die Summe aller Zahlen ist positiv. Stehen an drei aufeinanderfolgenden Ecken die Zahlen (a, b, c), wobei b negativ ist, so darf man sie durch (a+b, -b, b+c) ersetzen. Bricht dieses Verfahren irgendwann ab?
Die Lösungsstrategie besteht darin, jeder Konfiguration der 5 Zahlen a, b, c, d, e eine natürliche Zahl durch eine Funktionsvorschrift so zuzuordnen, dass von Schritt zu Schritt diese Zahl echt kleiner wird. Ist dies möglich, muss der Prozess zwangsläufig einmal enden.
Die Aufgabe ist äusserst schwierig; sie wurde am Wettbewerb immerhin von 11 der 210 teilnehmenden Personen gelöst.

Für den Download eines umfangreichen IMO-Kompendiums im Internet suchen nach "The IMO Compendium".

 

Und hier (rechts) unsere Light-Variante:

 

Wir vereinfachen die Aufgabe, indem wir anstelle eines Fünfecks lediglich ein Dreieck betrachten:

im086
An den Ecken eines (gleichseitigen) Dreiecks steht je eine ganze Zahl. Die Summe aller drei Zahlen ist positiv. An den Ecken stehen die Zahlen a, b, c. Ist b negativ, besteht ein "Schritt" darin, a durch a + b zu ersetzen, b durch -b und c durch c + b.
So entstehen drei neue Zahlen. Mit diesen verfährt man gleich, sofern noch eine der drei Zahlen negativ ist. Das Verfahren endet, wenn keine negative Zahl mehr vorhanden ist. Man beweise, dass das Verfahren auf jeden Fall -wie immer man auch vorgeht- endet. (Man finde eine Zuordnung, die jeder Situation eine natürliche Zahl zuordnet, die von Schritt zu Schritt abnimmt. Wie könnte eine solche Funktion aussehen?)
Um mit dem Problem vertraut zu werden, spiele man am besten einige Beispiele durch.
Nachdem für das Dreieck ein Resultat gefunden wurde, kann ev. eine Verallgemeinerung aufs Viereck und dann aufs Fünfeck erfolgen.

 
 
 
 
  36. Nullsequenzen in der Dezimaldarstellung von 7n      
 

Diese Aufgabe stammt aus der Longlist der Aufgaben zur IMO 1976 (leicht modifiziert):

Man beweise, dass es eine Zahl n gibt, so dass in der Dezimaldarstellung von 7n eine Serie von m aufeinanderfolgenden Nullen auftritt.
Ev. etwas einfacher: m = 4.

   
 
 
 
         
         
      Lösungshinweise