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Die Linie - ein mathematisch-kultureller Rundgang

Spuren

   
 
   
 

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Fahrradspuren im Schnee - Lösung

     
 

1. Das Hinterrad nimmt stets einen kürzeren Weg. Folglich ist die kürzere, rote Linie die Spur des Hinterrades.

 

 

 

 

2. In welche Richtung bewegte sich das Fahrrad? - Wir denken uns das Fahrrad nicht am Lenker, vom Vorderrad aus geführt, sondern vom Hinterrad aus. (Man kann ein Fahrrad am Sattel halten und es so führen und steuern.) Wir denken uns (Bild links) eine vereinfachte Konstruktion: gelb: Hinterrad, grüner Pfeil: Velorahmen. Das Vorderrad fehlt.
Wir führen das Rad an den beiden schwarzen Griffen der roten Hinterradspur entlang. Die Spitze S des grünen Pfeils beschreibt dann die Vorderradspur.
Wir bemerken, dass der grüne Vektor in jeder Situation tangential von der roten Hinterradspur wegschaut. Das Bild rechts oben zeigt drei solche Tangentenvektoren.
Natürlich muss deren Länge konstant bleiben (= Länge des Fahrrads). Dies ist nur möglich, wenn wir im Spurenbild oben die Fahrtrichtung von rechts nach links wählen.

 
 
 
 
  Lissajous-Figuren - Spuren zweier senkrecht aufeinander wirkender harmonischer Schwingungen      
 

Unterwirft man einen Punkt gleichzeitig zwei senkrecht aufeinander stehenden harmonischen Schwingungen (Schwingung 1 in x-Richtung, Schwingung 2 in y-Richtung), so beschreibt der Punkt eine Lissajous-Figur. Je nach Frequenzverhältnis der beiden Schwingungen und je nach Phasenverschiebung entsteht eine andere Figur. So entstehen Bilder von musikalischen Intervallen: Oktave: 2 : 1, Quinte: 3 : 2, Quarte: 4 : 3, usw.

 

Rechts: Modell eines mechanischen Lissajous-Zeichners:

1. Kurbelnocken
2. Räder (Frequenz a bzw. Frequenz b)
3. Gleiter, bewegt in x- bzw. y-Richtung durch den Kurbelnocken
4. Leiste zur Erhöhung des oberen (blauen) Gleiters
5. Zeichenstift in der Kreuzung der beiden Gleiter-Schlitze
6. Papier
7. Führungsleisten für die Gleiter
8. Schlitze in den Gleitern, in welche die Kurbelnocken eingreifen

Dreht man die Räder mit Frequenz a bzw. Frequenz b z.B. im Gegenuhrzeigersinn, greifen die Kurbelnocken, an denen man dreht in die Schlitze der Gleiter. Diese bewegen sich deshalb analog einer harmonischen Schwingung in x- bzw. y-Richtung.
Im Kreuzungspunkt beider Schlitze wird ein Stift angebracht. Dieser führt die kombinierte Bewegung der beiden Gleiter aus. Verhalten sich die Drehfrequenzen a und b rational, entstehen geschlossene Lissajousfiguren.

Eine Computersimulation dieses mechanischen Modells liefert natürlich exaktere Bilder, ein mechanisches Modell ist jedoch bestimmt sinnenfälliger.

 

Online-Lissajous-Zeichner. Das gezeigte Computermodell kann sehr gut mechanisch nachgebaut werden:

modell_lissajous

 
  prim oktave  

quinte quarte

 
  links: Prim 1 : 1, rechts: Oktave 2 : 1, je 90° phasenverschoben   links: Quint 3 : 2, rechts: Quart 4 : 3, je 90° phasenverschoben