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Die Linie - ein mathematisch-kultureller Rundgang

Linie als Ornament

   
 
 

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links: Keltenknoten aus dem Book of Durrow

Mitte: Ein Knoten der Pikten (Kelten um 500 v. Chr.)

Rechts: Einzügige Knotenfigur der Jokwe in Angola. Beim Erzählen der Geschichte der Weltentstehung wurde eine solche Figur freihändig in einem Zug gezeichnet. Die Figur zeigt den Weg von Sonne (links), Mond (rechts) und Mensch (unten) zum Überirdischen (oben).

 

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Billardtische und keltische Knoten

billard

Eine Billardkugel wird jeweils von der linken unteren Ecke aus im Winkel von 45° weggestossen. An den Banden prallt sie ab. Die Kugel im Bild oben findet schliesslich, nachdem sie alle schwarz markierten Quadrate durchquert hat, den Weg ins Loch unten rechts.

Der Tisch oben hat die Proportionen 8 : 5. Wie steht es Tischen, die im Verhältnis 10 : 1, 4 : 4, 7 : 3, 8 : 6, usw. proportioniert sind?

Bei welchen Proportionen rollt die Kugel über alle Quadrate?
Lässt sich bereits aus den Proportionen voraussagen, in welches Loch die Kugel schliesslich rollen wird?
Wie oft trifft die Kugel den Rand?

Aus dieser Billardtisch-Aufgabe lassen sich hübsche Knotenmuster im Stil der alten Kelten ableiten:

Bei welchen Proportionen besteht das Knotenmuster aus einem einzigen Band, bei welchen nicht?

Quellen:

Georg Polya: Mathematik und plausibles Schliessen, Birkhäuser 1969, S.240

Nigel Langdon, Charles Snape: Mathematische Schatzkiste, Klett 2006
 

Weitere Billardtisch-Probleme

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Unter welchen Bedingungen gelangt die Kugel wieder zum roten Punkt zurück (unter der Bedingung, dass sie ohne Reibungsverluste rollt)?
Unter welchen Bedingungen schliesst sich die Bahn nach einem zweimaligen / dreimaligen / viermaligen Banden-Check?

Das grüne Rechteck ist wiederum ein Billardtisch. Man wähle irgendeinen Startpunkt (roter Punkt).

In welche Richtung muss die Kugel, die beim roten Punkt startet, gestossen werden, damit sienach 3 Bandenchecks erneut beim roten Punkt landet?

Tipp: Die Ergänzung mit den (weissen) gespiegelten Billardtischen...

Zusatzfragen:

  • Gibt es Startpunkte, die keine geschlossene Reise zulassen?
  • Kann man das Verfahren oben erweitern, sodass die Kugel zuerst alle 4 Banden berührt, bis sie zum roten Punkt zurückkehrt?
  • Eine Lösung mit genau einem Bandencheck ist offensichtlich: Man stösst die Kugel rechtwinklig auf eine Bande zu; sie wird dort abprallen und wieder zum roten Punkt zurückrollen. Frage: Ist eine Lösung mit genau 2 Bandenchecks möglich? Ja oder nein?