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Die Linie - ein mathematisch-kultureller Rundgang

Kegelschnitte

   
 
 

kegelschnitt
Bildquelle für obige Darstellung:
http://de.wikipedia.org/wiki/Kegelschnitt

 

Die Linie - ein mathematisch-kultureller Rundgang

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br

Golden Gate Bridge, San Francisco mit parabelförmigem Hängeseil
 

 

 

Ebene schneidet Kegel

 

 

 
 

Vorstellungsübung:
• Was passiert, wenn ein Quader von einer Ebene "schräg angeschnitten" wird?
• Was passiert, wenn ein Zylinder von einer Ebene geschnitten wird?
• Was passiert, wenn ein Kegel von einer Ebene geschnitten wird?

     
         
 

Antworten:
Beim Quader entsteht als Schnittfläche ein Parallelogramm. Die Schnittlinien in gegenüberliegenden Quaderflächen verlaufen parallel.
Vorstellungsübung: Was passiert, wenn eine quadratische Pyramide schräg angeschnitten wird?

Beim Zylinder entsteht eine Ellipse. Diese Schnittfläche lässt sich vermutlich am einfachsten aus der Vorstellung heraus erahnen.

Beim Kegel schneide die Ebene zunächst einmal "nicht allzu steil und nicht allzu flach". Erstaunlicherweise entsteht eine Ellipse, obwohl viele Personen zunächst eine "unten breitere" Ei-Linie vermuten. Zu diesen Personen gehörte auch der Künstler Albrecht Dürer (1471 - 1528), der den Schnitt unrichtig zeichnete (s. Bild unten). Warum entsteht aber keine solche Ei-Linie, sondern eine schön symmetrische Ellipse? Es lohnt sich, für sich selber eine qualitative Erklärung zu suchen.

duerer

Albrecht Dürers "Ei-Linie". Dürer nahm fälschlicherweise an, der Kegelschnitt sei unten breiter als oben.
Quelle: Eberhard Schröder, Dürer - Kunst und Geometrie, Birkhäuser Basel 1980, p.18

Exaktere Antwort zum Kegel:
Die Bilder oben zeigen die Möglichkeiten, wie eine Ebene den Kegel (oder den Doppelkegel) durchschneiden kann:
• Die Schnittfläche verläuft parallel zu einer Mantellinie: Es entsteht eine Parabel (linkes Bild).
• Die Schnittfläche verläuft zu keiner Mantellinie parallel und durchschneidet nur den einen Teil des Doppelkegels: Es entsteht ein Kreis oder eine Ellipse (mittleres Bild).
• Die Schnittfläche verläuft durch beide Teile des Doppelkegels (rechtes Bild): Es entsteht eine Hyperbel, die aus zwei Ästen besteht.


qu

Quaderschnitt: Es entsteht ein Parallelogramm.

e1

Ellipse als Kegelschnitt. Man suche für sich eine qualitative Erklärung, warum eine Ellipse entsteht und nicht -wie Albrecht Dürer fälschlicherweise annahm- eine Ei-Linie, die "unten" breiter ist.

bullauge

Bullauge, Landesmuseum Zürich: schiefe Parallelprojektion eines Kreises erscheint als Ellipse.

 
 
 
 
  Kegelschnitte durch Papierfalten      
 

Faltkonstruktion der Ellipse:

  1. Zeichnen Sie einen Kreis mit Mittelpunkt M und ca. 10 cm Radius. Schneiden Sie diesen Kreis -wir wollen ihn den Leitkreis der entstehenden Ellipse nennen- aus.
  2. Markieren Sie im Innern dieses Kreises -etwa im Abstand von ca. 5 cm zum Mittelpunkt- einen Punkt F.
  3. Wählen Sie nun einen beliebigen Punkt P auf der Kreisperipherie und falten Sie das Papier so, dass dieser Punkt auf F zu liegen kommt. Falten Sie den Kreis wieder auf. Wiederholen Sie diesen Vorgang mit vielen weiteren Punkten der Kreisperipherie. Die Falze umhüllen schliesslich eine Ellipse, die im Laufe des Falzprozesses langsam entsteht. F und M liegen symmetrisch in dieser Ellipse drin und werden Brennpunkte genannt. Die Falze sind Tangenten an die Ellipse.

fe01

 

fe02

 
 
 
 
 

Die Faltkonstruktion enthüllt einige Zusammenhänge:

fe03

 

  • Die Strecken FX und XL sind gleichlang (das Dreieck FLX ist gleichschenklig wegen der Faltsymmetrie). Die Ellipse besteht somit aus allen Punkten X, deren Abstand zum Brennpunkt F und zum Leitkreis gleich gross ist. Das bedeutet: Jeder Punkt X der Ellipse hat zum Brennpunkt F und zum Leitkreis l denselben Abstand.
  • Es ist MX + XL = Radius r des Leitkreises = konstant. Folglich ist auch die Summe FX + XM = r = konstant für jeden Punkt X der Ellipse. Wir können also sagen: Für jeden Punkt X der Ellipse ist die Summe der Verbindungsstrecken zu den beiden Brennpunkten konstant (und gleich dem Radius des Leitkreises). Dies führt zur Schnurkonstruktion ("Gärtnerkonstruktion") der Ellipse:
 

se

Schlage zwei Pflöcke ein (sie repräsentieren die Brennpunkte). Befestige eine Schnur (Länge r = FX + XM) an den beiden Pflöcken. Der Stift beschreibt nun eine Ellipse, da die Schnur konstante Länge r hat.

 

Ellipse in der Architektur ("Ochsenauge", oculus)
Siehe
http://de.wikipedia.org/wiki/Ochsenauge_(Architektur)

 
 
 
 
 

Kreuzgewölbe:

Ein "Klostergewölbe" besteht aus zwei sich durchdringenden Zylindergewölben. Die diagonalen Bogenrippen bilden Ellipsen.

Wells Cathedral, England. Kreuzung zweier Zylindergewölbe. Orange: Kreisbögen. Blau: Ellipsen.

 

Links unten: Man denke sich einen horizontal liegenden Zylinder und zerschneide ihn im 45°-Winkel in zwei Teile. Die rote Schnittebene wird eine Ellipse. Nun entferne man die linke Hälfte (grün) und setze sie verdreht (Schnittellipse um 180° drehen) oben wieder an: Es entsteht eine "Rohrabzweigung".

   

Links und Mitte: Zylinderwinkel, Rohrkreuzung; rechts: Klostergewölbe als Kreuzung zweier Rundgewölbe

Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Gew%C3%B6lbe

 
         
 
 
 
 

Faltkonstruktion der Parabel

Wir konnten oben frei wählen: Den Radius r des Kreises und den Brennpunkt F. Was passiert, wenn wir den Radius "unendlich gross" wählen? Der rote Leitkreis wird dann zu einer Leitgeraden. Der Punkt M ist "ins Unendliche" verschwunden. Die Faltregel behalten wir bei: Wir falten möglichst viele Punkte der Leitgeraden auf den Brennpunkt F.

Diesmal schliesst sich das Hüllgebilde nicht, da der zweite Brennpunkt M im Unendlichen liegt. Die Kurve öffnet sich ins Unendliche. Dieses Gebilde ist eine Parabel.

Analog zur Ellipse gilt:

Jeder Punkt X der Parabel hat zum Brennpunkt F und zur Leitgeraden l denselben Abstand. (Die Leitgerade kann als Leitkreis mit unendlich grossem Radius aufgefasst werden.)

 

fp

 
 
 
 
 

Faltkonstruktion der Hyperbel

Wir gingen aus von der Ellipse. Den Kreismittelpunkt M liessen wir dann nach rechts ins Unendliche laufen. Der Leitkreis wurde zu einer Leitgeraden und die Ellipse zu einer Parabel. Wenn wir uns die Bewegung von M weiterdenken, so erscheint M nach dem Durchgang durch das Unendliche wieder von links. Die Leitgerade krümmt sich dann nach links zu einem neuen Leitkreis. F liegt jetzt aber ausserhalb dieses Leitkreises. Dieser ist jetzt "von F weggekrümmt". Als Faltgebilde entsteht auf diese Weise die Hyperbel.

fhh

Sei r wieder der Radius des Leitkreises. Es ist XF = XL. Deshalb gilt:
MX - XF = MX - XL = r = konstant.
Bei der Hyperbel ist also die Differenz der Leitstrahlen konstant. (Bei der Ellipse war die Summe der Leitstrahlen konstant.)

 

 

lampe              lampenschema

Der Lampenschirm ist unten kreisförmig. Die relativ punktförmige Lichtquelle erzeugt so einen Lichtkegel, der an der Wand eine Licht-Schattengrenze in Form eines Kegelschnittes -hier eine Hyperbel- erzeugt.

 
 

Dynamisches Modell der Faltkonstruktion

     
 


Licht-Schatten-Hyperbeln

 

Hyperbel am Bleistift

Dieser Hinweis stammt aus: Georg Glaeser: Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik, Spektrum-Verlag, München, 2. Auflage, 2007, ISBN 978-3-8274-1797-8.

 
 
 
 
  Brennstrahleigenschaften der Kegelschnitte      
  b  

Bilder links:
Ellipse: Ein Strahl, der vom einen Brennpunkt ausgeht und an der Ellipse reflektiert wird (Einfallswinkel = Ausfallswinkel), landet nach der Reflexion im andern Brennpunkt. Wäre z.B. die Ellipse aus Spiegelglas gebaut, so würden alle vom ersten Brennpunkt ausgehenden Lichtstrahlen nach der Reflexion im zweiten Brennpunkt gebündelt werden. Wäre die Ellipse eine schallreflektierende Wand, so würde der im einen Brennpunkt ausgesendete Schall im zweiten Brennpunkt gebündelt werden. Ein Flüstern, ausgehend vom ersten Brennpunkt, wäre im zweiten Brennpunkt gebündelt zu hören.

Parabel: Die Situation ist ähnlich wie bei der Ellipse, nur liegt der eine Brennpunkt im Unendlichen. Von dort eintreffende Lichtstrahlen (das heisst: parallel eintreffende Lichtstrahlen) werden im Brennpunkt der Parabel gebündelt. Diese Eigenschaft der Parabel wird bei Parabolspiegeln und Parabolantennen ausgenützt.

 
 
 
 
         
  Parabeln  

Quadratische Funktionen in wirtschaftsmathematischen Anwendungen: Quadratische Erlös- und Gewinnfunktion: s.hier.


 
 

bruecke

 

 

Wirrbachtal-Brücke, Thüringer Wald. Der Bogen ist eine quadratische Parabel.

 
solar

 

 

 

 

       



Links: Airlight Solarpanel, Bisaca CH. Der Parabolspiegel bündelt die einfallende Strahlung.
Rechts: Parabolscheinwerfer: Das vom Brennpunkt ausgehende Licht wird parallel abgestrahlt.

 
 
 
 
  bruecke lyon   Lyon F  
 
 
 
 

Anhalteweg eines Autos:
y = Anzahl Meter Anhalteweg, x = Anzahl km / h Anfangsgeschwindigkeit.

y = 0.01x2 + 0.3x

Der erste Summand ist der reine Bremsweg (hier bei trockener Fahrbahn*), der hintere Summand der Reaktionsweg (die Strecke, die man noch fährt, bevor man reagiert und den Bremsvorgang einleitet).

*) Der Faktor 0.01 beim ersten Summanden ist bei veränderten Strassenverhältnissen durch folgende Zahlen zu ersetzen:

Nasse Fahrbahn: 0.02, Laub, Rollsplit, Erde: 0.04, Eis: 0.10.

  bremsweg  
 


 
 

Wasserstrahl

 

 

Ein 40 cm hohes Zylindergefäss steht direkt auf dem Boden. Es ist randvoll mit Wasser gefüllt. Bei A und bei B sind kleine Löchlein in die Zylinderwand gebohrt. Das obere Loch A befinde sich 10 cm unterhalb der Wasserlinie, das untere Loch B befinde sich 10 cm über Boden. Durch die beiden Löcher spritzt das Wasser in einem bogenförmigen Strahl heraus. Wir messen, wie weit der Wasserstrahl kommt, bis er auf den Boden auftrifft. Das auslaufende Wasser wird von oben laufend ersetzt.

Was trifft zu:

  • A: Strahl A kommt weiter als Strahl B.
  • B: Strahl B kommt weiter als Strahl A.
  • C: Beide Strahlen kommen gleich weit.

Lösung am Schluss der Seite

 
 


 
 

Scheitelbestimmung der Parabel y = ax2 + bx + c

Öffnen Sie das zugehörige dynamische Modell hier.

Wir schneiden die Parabel p: y = ax2 + bx + c mit der Geraden g: y = k. Hierzu setzen wir die rechten Seiten der Gleichungen einander gleich:

ax2 + bx + c = k oder ax2 + bx + (c - k) = 0.

Die x-Koordinaten der Schnittpunkte ergeben sich zu

Die horizontale Gerade g lassen wir nun Richtung Scheitel wandern. Die Schnittpunkte A und B fallen im Scheitelpunkt zu einem einzigen Punkt (eben dem Scheitelpunkt) zusammen. Das bedeutet, dass in obiger Formel die Diskriminante (der Ausdruck unter der Wurzel) null wird. Für den Scheitelpunkt erhalten wir somit als x-Koordinate

Die y-Koordinate des Scheitels kann erhalten werden, indem man die x-Koordinate in die Parabelgleichung einsetzt.

 

 

Horizontale Gerade g: y = k geschnitten mit Parabel y = ax2 + bx + c. Verschiebt man die horizontale Gerade g zum Scheitelpunkt der Parabel, fallen die Schnittpunkte A und B zu einem einzigen Punkt, dem Scheitelpunkt, zusammen. Die Diskriminante der Schnittgleichung wird null.

 

 

 
 
 
 
 

Anwendungen, Parabelaufgaben

1. Wie lautet die Gleichung der abgebildeten Wurfbahn eines Kugelstosses? Es ist A(0 | 1.1), B(1 | 2), C(11 | 0). Welches ist die maximale Höhe der Flugbahn?

2. Paul und Eliane möchten abschätzen, wie hoch der abgebildete Wasserstrahl des Springbrunnens aufsteigt. Sie schätzen den Beckendurchmesser des Springbrunnens auf 10 m. Die Düse, so schätzen sie, ist ca. 0.5 m hoch (Punkt A). Von hier aus spritzt das Wasser schräg, in alle Richtungen, als Springbrunnen-Glocke heraus. Paul und Eliane stellen sich am Beckenrand beim Punkt C(5m | 0m) auf. Mit dem Arm (1 m über Boden) können sie die Wasserglocke in 0.5 m Abstand berühren (Punkt B). Wie hoch liegt der höchste Punkt der Wasserglocke über dem Bassinboden (auf cm genau)?

 

3. Die Rotarybrücke bei Sugiez, Kanton Freiburg, hat einen annähernd parabelförmigen Brückenbogen. Die grösste Höhe des Bogens über Wasser ist 15.5 m; die Fundamente sind auf Wasserhöhe 61 m voneinander entfernt. Wie lautet die Gleichung des Brückenbogens, wenn der Koordinatenursprung unterhalb des Scheitels auf Wasserhöhe gewählt wird?

4. Eine Person wirft ab A(0 m | 1.47 m) einer andern Person über einen Zaun hinweg einen Ball zu. Der Scheitelpunkt der Bahn liegt knapp über dem Zaun bei S(3 m | 3 m). Das Gelände hat ein Gefälle von 20%. Wie lauten die Koordinaten von P, wo die Fängerperson steht?

 
         
 
 
 
 

5. Ein kleines Designer-Bassin hat einen Parabelbogen und eine Gerade als Rand:

Parabelgleichung: p: f(x) = 0.5x2 - x - 1. Geradengleichung: g(x) = -0.2x + 5.

Die Koordinateneinheiten in x- und y-Richtung seien je 1 m.

Eine Schwimmerin will Längen (parallel zur y-Achse) schwimmen. An welcher Stelle des Bassins (bei welchem x-Wert) findet sie die grösstmögliche Länge und wie lang ist diese Strecke?

 

Lösungen:

1. Ansatz: y = ax2 + bx + c. Punkte A, B, C einsetzen:

(1): 1.1 = 0 + 0 + c

(2): 2 = a + b + c

(3): 0 = 121a + 11b + c

=> a = -0.1, b = 1, c = 1.1 => p: y = -0.1x2 + x + 1.1. S(5 m | 3.6m)

2. A(0 | 0.5), B(4.5 | 1), C(5 | 0). => y = -0.422x2 + 2.011x + 0.5; S(2.38 m | 2.89 m)

3. Nullstellen: (-30.5 | 0), (30.5 | 0), Scheitel: (0 | 15.5). p: y = -0.01666x2 + 15.5.

4. A(0 | 1.47), S(3 | 3). p: y = -0.17x2 + 1.02x + 1.47.

g: y = -0.2x. Schnittpunkt: (8.23 m | -1.65 m)

5. Die Länge d(x) der Schwimmstrecke am Ort x ist gleich g(x) - f(x), also
d(x) = -0.2x + 5 - (0.5x2 - x - 1) = -0.2x + 5 - 0.5x2 + x + 1 = -0.5x2 + 0.8x + 6 = d(x)
Dieser Ausdruck soll maximal werden. Stellt man d(x) grafisch dar, wird also der Scheitel der entstehenden Parabel y = -0.5x2 + 0.8x + 6 gesucht. S(0.8 | 6.24). Die maximale Schwimmstrecke liegt also bei x = 0.8 m und hat eine Länge von 6.24 m.

 
 
 
 
  Externer Link auf tube.geogebra, M. Hohenwarter: Berliner Bogen      
 
 
 
 

Vier Extremalaufgaben:

 

a) Dem blauen Quadrat ist das rote Quadrat einbeschrieben. Wie ist x zu wählen, damit die Fläche A(x) des roten Quadrates minimal wird?

b) Mit 50 m Zaundraht soll eine rechteckige Weidefläche, die mit einer Seite an einen Fluss grenzt (dort ist infolge dichten Buschwerks kein Zaundraht nötig) abgegrenzt werden. Wie ist x zu wählen, damit die Weidefläche maximal wird?

c) Einem geraden Kreiskegel mit Höhe H = 4m und Radius R = 1 m soll ein Zylinder so einbschrieben werden, dass seine Oberfläche maximal wird. Wie gross sind Radius r und Höhe h des Zylinders?

d) Zwei Fahrzeuge bewegen sich auf zwei rechtwinklig zueinander verlaufenden Strassen. Zum Zeitpunkt t = 0 Sekunden befindet sich Fahrzeug A auf der Kreuzung, während Fahrzeug B noch 8 m davon entfernt ist. 5 Sekunden später ist A 6 m von der Kreuzung entfernt und B befindet sich auf der Kreuzung. In welchem Zeitpunkt t befinden sich die beiden Fahrzeuge in kleinstmöglichem Abstand zueinander und wie gross ist dieser minimale Abstand?

 
 
 
 
 

Lösungen:

a) A(x) = (rote Quadratseite)2 = (1 - x)2 + x2 = 2x2 - 2x + 1 = minimal. Scheitel liegt bei x = 0.5, also in der Mitte der blauen Quadratseite.

b) A(x) = x (50 - 2x) = -2x2 + 50x = maximal. Scheitel bei x = 12.5 m. Also Abmessungen: 12.5 m Breite, 25 m Länge.

c) Strahlensatz: (4 - h) : r = 4 : 1 => h = 4 - 4r => S(r) = r2 π + r2 π + 2r π h =
2r2 π + 2r π (4 - 4r) = -6r2 π + 8r π = maximal. => Scheitel bei r = 2/3 =>
h = 4 - 8/3 = 4/3.

 

d) Geschwindigkeit A: 6 / 5 m/s = 1.2 m/s. Geschwindigkeit B: 8 / 5 m/s = 1.6 m/s.

Abstand2 = d(t)2 der Fahrzeuge zum Zeitpunkt t Sekunden:

d(t)2 = (1.2 t)2 + (8 - 1.6t)2 = 4t2 - 25.6t + 64 = minimal. Scheitel bei t = 3.2 s =>

d2 = 23.04 => d = 4.8 m.

 
 
 
 
  Parabelbrücke      
 
 

 

 
 

Die Brücke oben besteht aus Fahrbahnelementen, deren Gewicht je mit der Kraft F nach unten wirkt und von denen senkrecht nach unten Streben weggehen, welche in schräg angeordnete Streben münden. Diese Querstreben bilden einen Polygonzug, der sich einer Parabel annähert.

Um die Kräfteverteilung zu verstehen, starten wir beim mittleren, zentralen Knoten, d.h. beim Scheitel des "Bogens". Die Kraft F des darüberliegenden Fahrbahnelements wird durch zwei Querstreben abgeleitet. Wir haben nur die Kräfte in der rechten Hälfte eingetragen, links sieht die Sache gleich aus.

Die Kraft F wird in zwei symmetrische Kräfte (F1) aufgeteilt. Man beachte, dass F1 viel grösser ist als die ursprüngliche Kraft F (eine Art "Keil-Effekt"), d.h. beim Scheitel entstehen sehr grosse Querkräfte. (Eine Kraft kann in "Teilkräfte" "zerlegt" werden, die grösser sind als die urprüngliche Kraft! Die Wörter "Teilkräfte" und "zerlegen" verschleiern diese Tatsache.)

Auf Knoten K1 wirkt die Kraft F1 und zusätzlich die Gewichtskraft F des Fahrbahnelements direkt über K1. Die Summe dieser beiden Kräfte wird über Querstütze 2 zu Knoten K2 geleitet. Auf Knoten K2 wirken F2 und die Gewichtskraft F. Querstütze 3 leitet diese Kräftesumme zu Knoten K3, usw.

Analysiert man die gelben Kräfteparallelogramme und zählt die Häuschen, erkennt man leicht, dass die Knoten K1, K2, usw. nach dem Gesetz einer quadratischen Funktion angeordnet sind (Abstände zur Fahrbahn: 0, 1, 4, 9, 16, ... Einheiten).

 

 

Was haben wir in diesem Modell vernachlässigt? Wir haben das Eigengewicht aller Brückenstreben nicht einbezogen, d.h. wir haben uns Streben vorgestellt, die aus einem äusserst stabilen, gleichzeitig aber auch sehr leichten Material bestehen, sodass das Gewicht F der Fahrbahnelemente praktisch alleine wirksam ist. Dann ist die Parabelform diejenige Form der Streben, welche die Kräfte optimal an die Fundamente ableitet.

Berücksichtigt man zusätzlich das Eigengewicht der Tragkonstruktion, entsteht eine leicht andere Form, eine sogenannte Kettenlinie. Die Parabelform einer Tragkonstruktion ist aber eine gute Näherung (je leichter das Tragwerk im Vergleich zur Brückenkrone ist, desto besser die Näherung). Das Tragseil einer Hängebrücke (hier ist das Gewicht der Fahrbahnelemente viel grösser als das Eigengewicht der Seilkonstruktion) hat also annähernd Parabelform, das unter reinem Eigengewicht frei hängende Seil einer Seilbahn hingegen weist die Form einer Kettenlinie auf.

 
      charmey  
 

 

 

Kölnarena mit Stahlbogen in Parabelform.

 

 

 

 

springbrunnen

Springbrunnen (Strahl in Parabelform)

 
         
 
Rechts: Wasserfall ; Flugbahn der Wassertropfen annähernd parabolisch.
 
wasserfall
 
 


 
 

Parabel als Fadengrafik erzeugen

  1. Man zeichne einen Winkel und trage auf jedem Schenkel, ausgehend vom Scheitel Punkte in gleichem Abstand auf.
  2. Nun verbinde man die Punkte durch Strecken so, wie es die Abbildung links zeigt. Es entsteht ein Hüllgebilde in Parabelform.
    Dynamisches Modell: http://tube.geogebra.org/student/m1121883
 

 

Astgabeln sind statisch stabiler, wenn sie nicht kreisförmig gerundet sind, sondern parabelähnliche Form besitzen. Mit solchen Fragen befasst sich die Bionik.

Beispiel-Links:
http://www.mattheck.de
http://www.bionik.tu-berlin.de/

 
 
 
 
 

Die Fadenparabel kann beliebig weit fortgesetzt werden, indem der Winkel nach unten zu einem Doppelwinkel erweitert wird. Man kann die Punkte auf den Schenkeln mit positiven und negativen Nummern versehen. Eine Strecke verbindet dann zwei Punkte so, dass die Summe immer den gleichen Wert ergibt (im Bild unten hat diese Summe den Wert 5).

 

Parabelmuster aus konzentrischen Kreisen und parallelen Geraden:

 
 
 
 
 

Sattelflächen

 

Die Parabel als Fadengrafik erinnert an eine Sattelfläche, obwohl es natürlich eine zweidimensionale Figur ist. Eine wirkliche Sattelfläche kann man ebenfalls als Fadengrafik erzeugen, wenn die beiden Geraden keinen Winkel bilden, sondern windschief im Raum verlaufen. Dann entsteht eine Fläche im Raum, die an einen Pferdesattel erinnert. Auch Stapel-Chips haben diese Form.

Im Bild unten sind BG und ED, sowie EB und DG Paare solcher windschiefer Geraden.

Quelle: Juliane Vymetal: "Das Katalanische Gewölbe", TU Wien, pdf .

Felix Candelas Betonschalen-Konstruktionen

 

Hyperbolisches Paraboloid. Die grosse Stabilität dieser Form begründet ihre Anwendung in Dachkonstruktionen und Stapel-Chips

Diese doppelt gekrümmte Fläche hat folgende Eigenschaften:

Die Schnitte mit senkrechten Ebenen (rote Schnittlinien) sind Parabeln und die Schnitte mit horizontalen Ebenen (gelbe Schnittlinien) sind Hyperbeln.

Die Fläche kann auch so entstehen: Eine hängende, d.h. nach unten geöffnete Parabel bewegt sich mit ihrem Scheitelpunkt entlang einer nach oben geöffneten Parabel. Da die Fläche aber auch via "Fadengrafik" entstehen kann, wird sie in modernen Dachkonstruktionen verwendet (Schalendächer). Wie die Figur links zeigt, schützt diese Dachform eine quadratische Grundfläche (oder bei entsprechender Verzerrung ein Rechtecksfläche). Das Dach ist "selbsttragend".

Schalendach, Olympia-Stadion München; Quelle: http://www.n-tv.de/

 
       
 


 
 

Lösung des Wasserstrahl-Rätsels:

Überraschende Lösung: C: Beide Strahlen kommen gleich weit, wenn die Löcher symmetrisch zur Zylindermitte liegen. Das ist so, weil der Zylinder direkt auf dem Boden steht. Das Wasser bei B schiesst zwar mit mehr Druck und somit schneller aus dem Loch, es landet aber nach sehr kurzer Zeit bereits auf dem Boden. Die Form der Strahlen ist jeweils eine Parabel.

Wo müsste das Loch angebracht sein, damit der Strahl möglichst weit spritzt? Genau in der Mitte des Zylinders.

Erst wenn wir den Zylinder auf einen Tisch stellen und an die Tischkante schieben, so dass das Wasser auf den Boden spritzen kann, wird der Strahl aus dem unteren Loch weiter spritzen als derjenige aus dem oberen Loch.

 

Man trifft gelegentlich Schulbücher an, in denen dieser Versuch falsch gezeichnet ist:

 

bild

 

Hier ein Beispiel aus einem interkantonalen Lehrmittel für Primarschulen. Der Verfasser hat den Versuch nur gezeichnet, aber bestimmt nie selber ausgeführt und der Lektor hat dem Verfasser kritiklos geglaubt. Auch die Form der Wasserstrahlen ist krass falsch gezeichnet (solche falschen Zeichnungen hat übrigens auch Aristoteles verfertigt). Das Beispiel zeigt: Schulbücher sind eine nicht zu unterschätzende Quelle von Irrtümern und deren Verbreitung.

 
 
 
 
 

Anhang: Schiefer Wurf

 

Schiefer Wurf mit Anfangsgeschwindigkeit v(0) und Startwinkel α. Ohne den Einfluss der Erdanziehung flöge das Wurfobjekt entlang der gestrichelten Linie. Die Höheneinbusse infolge der Schwerkraft beträgt (g/2)*t2 = 5t2 (t in Sekunden, Höhenverlust in m).

 

text

 
 
 
 
 

Die Formel für a im grünen Kasten rechts oben erlaubt es, aus a und b die Anfangsgeschwindigkeit zu berechnen:

 

 

 

Beispiel 1: Kugelstoss-Aufgabe oben: p: y = -0.1x2 + x + 1.1
Es folgt v(0)2 = -5(b2 + 1) / a => v(0) = 10 m / s = 36 km / h.

Beispiel 2: Springbrunnenaufgabe oben: y = -0.422x2 + 2.011x + 0.5.
Es folgt v(0)2 = -5(b2 + 1) / a => v(0) = 7.7 m / s = 27.8 km / h.

 
 
 
 
         
         
         
         
         
         
         
         
arbeitslink