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Würfelsymmetrien | |||||
Algebra am Beispiel der Würfeldrehgruppe
Am Beispiel der Würfeldrehgruppe kann sehr viel Gruppenalgebra veranschaulicht werden; die Gruppe ist nicht trivial und doch gleichzeitig sehr anschaulich. Zunächst die grundlegenden Definitionen für Gruppe, Ring, Körper und Vektorraum. |
Gruppe: Ring:
Körper:
Vektorraum:
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Gruppentafel der Würfeldrehgruppe |
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Die Würfeldrehgruppe Die Bilder oben und die Gruppentafel oben rechts zeigen die möglichen Würfeldrehungen.
Wir erhalten so total 24 Drehungen, die den Würfel in sich überführen. Die beschriebene Einteilung in die 5 Klassen ist die Konjugationsklassen-Einteilung. Die 24 Elemente teilen sich also auf in 5 Konjugationsklassen: 24 = 3+6+8+6+1. |
Die Gruppentafel: Zwei nacheinander ausgeführte Drehungen können durch eine einzige, resultierende Drehung ersetzt werden. Die Gruppentafel gibt darüber Auskunft. Wir vereinbaren: a1⋅x3 bedeute: Zuerst x3, dann a1. Wir lesen also: a1⋅x3 als: "Zuerst x3, dann a1." |
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Gruppenring und Gruppenalgebra Wenn wir mit den Gruppenelementen formale Summen bilden und diese gemäss Distributivgesetz und Gruppentafel miteinander multiplizieren, erhalten wir eine Ringstruktur. Die Ringelemente sind die formalen Summen. Wir können aber die einzelnen Summanden noch mit Koeffizienten aus einem Körper (z.B. aus ℝ) versehen. Wir erhalten dann Ausdrücke wie etwa 2k1+5z2, usw.
Drei Arten einen Würfel aufzuhängen: |
Die Untergruppen von W Eine Untergruppe ist eine Teilmenge, die ebenfalls Gruppe ist. Die Würfeldrehgruppe W besitzt folgende Untergruppen: Zyklische Untergruppen:
Diedergruppen:
Normalteiler:
Triviale Untergruppen:
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Verzierte Würfel zeigen Untergruppen |
Wenn Würfel regelmässig verziert werden, treten Untergruppen hervor. Oberste Zeile: Z1a, falls die Würfel unten passend gemustert sind. Zweite Zeile: links D4, rechts D8 (untere Fläche gleich bemustert wie obere Fläche). Dritte Zeile: links Z4 (die orangen Halbkreise setzen sich auf den nicht sichtbaren Flächen fort), rechts Z3 (nicht sichtbare Flächen weiss). Unterste Zeile: links N12, rechts N4; die sind Muster von Normalteilern. (Gegenüberliegende Seitenflächen sind gleich bemustert.)
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Nebenklassen, konjugierte Elemente, konjugierte Gruppen Obiges gelbes Muster bleibt unter D8 erhalten. Das sind die 8 Operationen Wir haben somit 3 Nebenklassen mit je 8 Elementen. Die 24 Gruppenelemente sind damit disjunkt in drei Klassen eingeteilt worden. Die Anzahl der Nebenklassen - anschaulich: die Anzahl der möglichen verschiedenen Lagen des Musters - heisst Index der Untergruppe. Es gilt für jede Untergruppe H stets: |
Das gelbe Muster hätte anfänglich auch in Richtung der x-Achse liegen können. Statt die Operationen von D8' auszuführen, können wir z.B. mit y1 das Muster in z-Richtung bringen, dann die Operationen von D8 ausführen und anschliessend das Muster wieder mit y1-1 (der Umkehrdrehung von y1) in die x-Richtung drehen. Ist g ein Gruppenelement, heisst die Operation g-1⋅[ ]⋅g Konjugation mit g. Entsprechend der dritten möglichen Lage des Musters gibt es noch eine dritte zu D8 konjugierte Gruppe. Konjugierte Gruppen können durchaus gemeinsame Elemente haben, in unserem Fall sind dies id, x2, y2, z2. Im Fall unserer Würfeldrehgruppe sind konjugierte Elemente Operationen "gleicher Achsenfarbe" (s. Bild ganz oben) und gleichen Drehwinkels (im Uhr- oder Gegenuhrzeigersinn). |
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Normalteiler und Faktorgruppen Der historische Zugang zum Begriff des Normalteilers hätte über die Galois-Theorie zu erfolgen. Am Beispiel verzierter Würfel kann man das Besondere von Normalteilern ebenfalls gut zeigen. Stellen wir uns vor, wir könnten die Würfeldrehungen mittels einer Tastatur steuern, d.h. wir hätten 24 Tassten, die einen vor uns schwebenden Würfel steuerten. Die Drehungen erfolgten für uns jeweils unsichtbar, so dass wir lediglich Anfangs- und Endzustand sehen, nicht jedoch die Bewegung selber - ähnlich einem Diabild-Wechsel. Wir sehen also zuerst das Bild vor der Drehung und nach dem Tastendruck das Bild nachher. Wenn wir nun einen gewöhnlichen, unverzierten Würfel vor uns haben, müssen wir, um zu merken, dass und in welcher Art er gedreht wurde auf ihm Markierungen anbringen. Wir können z.B. die vier Körperdiagonalen nummerieren (s. Bild oben). Wir können nun die 24 verschiedenen Lagen gut unterscheiden. Nehmen wir jetzt unsere verzierten Würfel. Auch sie sind durch ihr Muster markiert, jedoch nicht mehr perfekt, d.h. es werden optisch nicht mehr alle 24 Drehungen unterschieden. Unsere Muster zeigen nur noch 6 verschiedene Lagen (Nebenklassen) an. Unsere Tasten permutieren diese 6 Lagen. Die Würfeldrehungen wirken durch Linksmultiplikation auf die Nebenklassen ein und permutieren sie. Nennen wir die abgebildete Lage der Würfel "Grundstellung". Drücke ich auf meiner Befehlstastatur eine Taste, die zu der vom Muster erzeugten Untergruppe gehört, werde ich auf meiner Würfelbühne keine Veränderung feststellen. Das Muster sieht vorher und nachher gleich aus. |
Ich wende mich nun dem linken Würfel zu und denke: Wenn unter den vier Operationen von N4, also beim Betätigen der Tasten id, z2, x2, y2, äusserlich "nichts" passiert, dann identifiziere ich diese vier Befehlstasten und bezeichne sie alle mit ID. Ich kann dies etwa so bewerkstelligen, dass ich eine ID-Taste erstelle, die beim Drücken via Zufallsgenerator eine der vier Tasten id, z2, x2 oder y2 aktiviert. Ich selber weiss nicht, welche Taste aktiviert wurde; ich weiss nur, dass ich ID gedrückt habe. Jetzt habe ich also nur noch 6 grosse Tasten. Sie seien alle mit GROSSBUCHSTABEN bezeichnet (bzw. in der Fachliteratur meist mit Querstrich oben). Ich spiele ein wenig mit den Tasten und bringe den Würfel von der Grundstellung aus in neue Lagen. Im Würfel links (N4) jedoch operiere ich jetzt erfolgreich nur noch mit 6 Tasten. Ich operiere in der symmetrischen Gruppe S3, die Ordnung 6 hat. Was heisst dies formal? Welche besondere Eigenschaft hat N4 gegenüber Z4? Ich bringe den linken Würfel durch eine Operation g in eine neue Lage. Anschliessend kann ich meine grosse ID-Taste drücken; der Zufallsgenerator wählt dann ein n aus N4 aus - das Aussehen bleibt unverändert! Wende ich dann die Umkehroperation g-1 aus, werde ich wieder eine Stellung bekommen, die sich von der Anfangsstellung "nicht" unterscheidet, genauer: die sich nur um eine Drehung n' aus N4 unterscheidet. Formal (von rechts nach links gelesen): Normalteiler sind Mittel, um Faktorgruppen zu bilden. Eigenschaften von Normalteilern N:
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Das Auflösen der Gleichung 4. Grades Gegeben eine Gleichung 4. Grades f(X) = X4+a3X3+a2X2+a1X+a0 = 0.
Man erkennt leicht, dass sich die xi in diesen Termen auf jede mögliche Art permutieren lassen, ohne dass sich der Wert des Terms ändert: Die Terme sind stabil unter S4, sie sind "vollsymmetrisch". Wenn wir also im Zerfällungskörper die Nullstellen permutieren, bleiben die Elemente des Grundkörpers, dem die ai angehören fix. Der Hauptsatz über symmetrische Funktionen besagt, dass jede symmetrische Funktion sich schreiben lässt als Kombination obiger elementarsymmetrischer Funktionen, im Fall unseres Beispiels also als Kombination der Koeffizienten ai der Funktion f. Betrachten wir z.B. den Term x1x2+x3x4. Nennen wir ihn u. u:= x1x2+x3x4 v:= x1x3+x2x4 w:= x1x4+x2x3. Diese teilsymmetrischen Terme bilden zusammen mit ℚ einen Zwischenkörper zwischen ℚ und dem Zerfällungskörper von f.
Nun der Zusammenhang mit dem Würfel:
Den Ausdrücken v und w entsprechen im Würfelbild die beiden andern möglichen Mittelschnitte oder zwei weitere, je andersfarbige Mittelbänder in den beiden andern Raumrichtungen.
Die Untergruppe, die gleichzeitig alle drei Mittelschnittebenen unverändert lässt, ist der oben beschriebene Normalteiler N4 = {id, x2, y2, z2} als Durchschnitt der drei Diedergruppen D8, welche je einen der Schnitte in sich überführen. |
Wie lässt sich nun die allgemeine Gleichung 4. Grades lösen? u, v und w sind Lösungen einer Gleichung 3. Grades, nämlich von R(X) = (X-u)(X-v)(X-w) = X3 - (u+v+w)X2 + (uv+uw+vw)X - uvw Die bi sind invariant unter den Permutationen von u, v und w und somit auch invariant unter den Permutationen der xi , wenn u, v und w als Terme in den xi betrachtet werden. Folglich sind die bi symmetrische Funktionen der xi und als solche nach dem Hauptsatz über symmetrische Funktionen darstellbar als Kombinationen der elementarsymmetrischen Funktionen der xi , also darstellbar als Kombinationen der Koeffizienten ai von f(X). Diese Kombinationen müssen wir nun suchen. Man drückt dazu im ausmultiplizierten Term R(X) = (X-u)(X-v)(X-w) = (X-(x1x2+x3x4))(X-x1x3+x2x4))(X-x1x4+x2x3)) die Teilsummanden durch die elementarsymmetrischen Funktionen ai aus und erhält nach längerer Rechnung:
R(X) nennt Lagrange eine Resolvente von f. u = x1x2+x3x4 so können wir wegen a0 = x1x2x3x4 mittels der quadratischen Gleichung (Wir könnten auch mittels X2 - vX + a0 = 0 die Bausteine x1x3 und x2x4 oder mittels Ferner ergeben sich wegen
x1+ x2+ x3+ x4 = -a3 und Aus (x1x2), (x3x4), (x1+x2) und (x3+x4) ergeben sich endlich via Die Gleichung f ist gelöst; wir haben die Lösungen schrittweise "freigelegt". Alternative: Bemerkung |
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Bemerkung: Gibt es für eine Gruppe G eine Normalteilerkette |
Tabelle links: Darstellung der Körpererweiterungen beim Lösen der allgemeinen Gleichung 4. Grades und Symmetriegruppen der einzelnen Körper. Je umfangreicher der Körper, desto kleiner die zugehörige Symmetriegruppe, d.h. der aufsteigenden Körperfolge entspricht die absteigende Normalteilerfolge der Symmetriegruppen. S4 Die in der Tabelle aufgeführte Z2 ist {id, y2};
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Operieren einer Gruppe G auf einer Menge X Wir erläutern dies am besten durch Beispiele. 1. Sei G die Gruppe der geometrischen Verschiebungen (Translationen) in der Ebene. Sei X die Menge der Dreiecke. Jede Verschiebung g verschiebt ein gegebenes Dreieck x. Der Stabilisator von x besteht aus allen Elementen von g, die x fix lassen. In unserem Beispiel besteht der Stabilisator eines bestimmten Dreiecks x nur aus der identischen Translation, also der Verschiebung, die "nichts tut".
2. Sei G = W die Würfeldrehgruppe. Sei X die Menge der Nebenklassen einer Untergruppe, z.B. die Menge der Nebenklassen der Untergruppe D8: Die D8 hat 3 Nebenklassen (3 Lagen des Musters). Die Würfeldrehgruppe operiert auf der Menge dieser 3 Lagen und führt eine bestimmte Lage in eine neue (oder auch gleiche) Lage über. Die Bahn einer bestimmten Lage unter W sind alle 3 möglichen Lagen. |
3. Sei G = W die Würfeldrehgruppe. Sei X die Menge der Körperdiagonalen. Der Stabilisator einer bestimmten Körperdiagonalen ist die Untergruppe, die diese Diagonale fix lässt, also eine D6.
Der Stabilisator einer bestimmten Hauptachse ist eine D8.
5. Sei G die von z1 erzeugte zyklische Gruppe, d.h. G = {z1, z2, z3, id}. G operiere auf der Menge der 4 Körperdiagonalen {1, 2, 3, 4} des Würfels. Wie sieht die Bahn einer bestimmten Diagonalen, z.B. von Diagonale 1 unter G aus? Beispiele für Zykeldarstellungen: |
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Zykeldarstellungen der Würfeldrehungen
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Man erkennt, dass die Zykelstruktur innerhalb jeder Konjugationsklasse gleich ist. Dies hat folgenden Grund: Wenn ich innerhalb eines Zykels die Zahlen i einer Permutation aussetze, wirkt dies als Konjugation mit dieser Permutation und jede Konjugation kann so erzeugt werden. Wir haben 5 verschiedene Zykelstrukturen, und somit hat W 5 Konjugationsklassen. 4 ist die Anzahl der permutierten Objekte, hier der 4 Körperdiagonalen. W ist isomorph zu S4, der Permutationsgruppe von 4 Objekten. |
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Permutationen von Linksnebenklassen; Matrizendarstellung einer Gruppe Hier nochmals die Untergruppe D8. Wir bilden mit den Elementen einer Nebenklasse formale Summen: Nun lassen wir die Gruppenelemente g von links auf u, v und w wirken. Wir finden, dass keine neuen Elemente entstehen, sondern u, v und w einfach permutiert werden. Dabei kommen alle 6 möglichen Permutationen der S3 (Symmetrische Gruppe der Permutationen von 3 Objekten) zum Zug. Jedem Gruppenelement g entspricht also eine Permutation und damit, wenn wir u, v und w in dieser Reihenfolge als Basis eines Vektorraums ansehen, eine Permutationsmatrix (siehe Tabelle rechts). Die erste Spalte der Permutationsmatrix enthält das Bild unter f von u, die zweite dasjenige von v und die dritte dasjenige von w. Wir nennen die operationsverträgliche (homomorphe) Zuordnung f, die jedem g ∈ W eine Matrix zuordnet, eine Matrizendarstellung von W. |
Die operationsverträgliche (homomorphe) Zuordnung f sieht so aus:
Der Kern von f ist die Menge der Gruppenelemente, die unter f auf id gehen, also |
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Abspalten der identischen Darstellung durch Basiswechsel Wir können obige Darstellung in Blockform bringen, indem wir von der Basis (u,v,w) in die neue Basis (u+v+w, u-v, u-w) wechseln. Dass die neue Basis wirklich eine Basis desselben Vektorraums V ist, zeigt sich rasch:
Begründung für Letzteres: u = (u+v+w)/3 + (u-v)/3 + (u-w)/3 Falls der Koeffizientenkörper kein Restklassenkörper mit 3=0 ist, existieren somit die Nenner 3 und der Basiswechsel ist möglich. |
Es entstehen in der neuen Basis aus den alten folgende neue Matrizen: Man sieht: Die neuen Matrizen haben Blockform; der rote Block oben lässt sich abspalten. Die gelben Blöcke bilden nun wieder eine Gruppendarstellung, nämlich als Wirkung der Linksmultiplikation von g ∈ W auf (u-v) und (u-w). Wir erhalten eine 2x2-Darstellung: Diese Darstellung lässt sich nicht weiter in Blöcke aufspalten; sie ist irreduzibel. Durch den Basiswechsel haben wir den ursprünglichen Vektorraum V in die Summe zweier Unterräume aufgespalten: V = V1 + V2. Hinweis: Man addiere einmal die 6 gelben Matrizen. Was stellt man fest? |
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Genauere Betrachtung des Basiswechsels |
Man beachte, dass die Reihenfolge der Matrixoperationen von rechts nach links gelesen wird. |
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5 Typen irreduzibler Darstellungen der Würfeldrehgruppe
Man findet 5 Isomorphie-Typen irreduzibler Darstellungen der Würfeldrehgruppe. |
Typ 2: Dem Würfel lassen sich 2 Tetraeder einschreiben. Färben wir das eine weiss und das andere schwarz. Drehungen, die Weiss auf Weiss und Schwarz auf Schwarz werfen, erhalten die Darstellungsmatrix [1], diejenigen, welche die Farben tauschen die Matrix [-1]. Die Würfeldrehungen erhalten das Muster oder drehen es in eine zweite Lage, d.h. ändern die Orientierung der Balken. |
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Noch eine Veranschaulichung des Typs 2: Lassen wir ein Gruppenelement der Würfeldrehgruppe von links auf a und b operieren, bleiben a und b entweder erhalten oder sie werden vertauscht. Wir lassen nun die Gruppenelemente g von links auf der Basis (a-b) wird entweder erhalten oder wird -(a-b). Es entstehen wiederum die Darstellungsmatrizen [1] oder [-1]. |
id, a1, a2, b1, b2, c1, c2, d1, d2, x2, y2, z2 wird [1] zugeordnet. k1, k2, k3, k4, k5, k6, x1, x3, y1, y3, z1, z3 wird [-1] zugeordnet. Das Basiselement (a - b) kann man auch so erzeugen: |
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Typ 3 ist die oben erwähnte Darstellung (s. gelbe Matrizen oben). Die Darstellung entsteht durch die Einwirkung der Gruppenelemente g auf die Basisvektoren (u-v) = (id+x2+y2+z2+z1+z3+k5+k6)-(x1+x3+a2+b1+c2+d1+k2+k4) Beispiel: |
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Eine andere Darstellung vom Isomorphietyp 3:
Durch die Wahl einer andern Basis entsteht eine isomorphe Darstellung. B1:= id+z2+x2+y2-x1-x3-k2-k4+y1+y3+k1+k3-a2-b1-c2-d1 B2:= z1+z3+k5+k6-y1-y3-a1-b2-c1-d2+a2+b1+c2+d1
Es ist B2 quadriert gleich 0; B2 nennt man deshalb nilpotent. Eine Begründung hierfür liefert die nachstehende Zwischenbemerkung.
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Darstellung der Gruppenalgebra
Sei G die Würfeldrehgruppe, K ein algebraisch abgeschlossener Körper mit Charakteristik 0, z.B. der Körper der komplexen Zahlen. Eine Darstellung der Gruppe G ordnet jedem h ∈ G einen Automorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums V zu, d.h. bei der Wahl einer Basis in V eine invertierbare Matrix H. Beispiele: Die Darstellungen oben, z.B. die obige Darstellung vom Typ 3. Nun können wir dies noch ausbauen: Wir können noch weiter gehen:
Beispiel: |
Damit können wir z.B. zeigen, dass Die Darstellungsmatrizen von B1 und B2 zeigen sofort, dass speziell denjenigen Elementen r, welche eine Linearkombination von B1 und B2 sind, in der Basis (B1, B2) Matrizen mit zweiter Spalte gleich null entsprechen. Schema unten: Es zeigt beiden Vektorräume V1 und V2 und die Isomorphie F, die jedem Vektor aus V1 einen Vektor aus V2 ein-eindeutig zuordnet. Sei a ein Gruppenelement, sei A die zugehörige Matrix in V1 und A' diejenige in V2. Damit die Darstellungen gleichwertig sind, muss gelten: A' F = F A für alle Gruppenelemente a. |
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Typ 4:
Das ergibt eine Permutationsmatrix mit Richtungssinn. Die Darstellung ist in der rechten Spalte aufgeführt. Jedem Gruppenelement ist eine eigene Matrix zugeordnet.
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Eine andere, isomorphe Darstellung vom Typ 4: Das sieht in obigem Fall so aus: B:= -z1+z3-k5+k6-a1+b2-c1+d2 = z3⋅A und C:= y1-y3+k1-k3+a2+b1-c2-d1 = y1⋅A. Nun lassen wir die Gruppenelemente der Würfeldrehguppe von links auf diesen drei Basiselementen operieren. A, B und C werden so verändert. Unter z1 geht A auf -B, B auf A und C auf C. Die entsprechende Darstellungsmatrix sieht so aus: Wir erhalten eine zwar von der obigen Darstellung verschiedene, aber zu ihr isomorphe Darstellung. Dieses Vorgehen funktioniert immer, wenn uns bereits eine Darstellung gegeben ist. Ausgehend von einer "alten", gegebenen irreduziblen Darstellung bildeten wir die sogenannte Gruppenmatrix (siehe Spalte rechts). Die Diagonalelemente dieser Gruppenmatrix sind idempotent, die übrigen Elemente nilpotent (s.unten). |
Das Verfahren mit der "Gruppenmatrix" Nehmen wir an, wir hätten eine "alte" Matrizendarstellung der Gruppe G, z.B. die oben beschriebene Darstellung vom Typ 3 mit der "alten" Basis ((u-v),(u-w)). Wir können daraus "neue" Darstellungsmatrizen auf der Grundlage "neuer" Basiselemente finden. Verallgemeinern wir diese Idee auf Darstellungen höherer Dimension, z.B. auf diejenige vom Typ 3, 4 oder 5. Wir gehen also wie folgt vor: 1) In jede Darstellungsmatrix H der "alten", gegebenen Darstellung multiplizieren wir das zugehörige Gruppenelement h hinein. Die Matrizen enthalten nun nicht mehr die ursprünglichen Zahlen als Einträge, sondern die mit diesen Zahlen multiplizierten Gruppenelemente. 2) Dann addieren wir alle so entstandenen Matrizen zu einer Summenmatrix M, die von Andreas Speiser "Gruppenmatrix" genannt wird. 3) Betrachten wir z.B. die erste Spalte dieser Gruppenmatrix. Der Eintrag oben links, d.h. an der Stelle (1;1), ist unser erstes neues Basiselement und die übrigen Einträge der ersten Spalte bilden die weiteren Elemente der neuen Basis. 4) Es entstehen "neue" Darstellungsmatrizen, welche die invers-transponierten Matrizen der "alten" Matrizen sind. Hier eine Begründungsskizze für diese Behauptung: |
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Idempotente und nilpotente Elemente des Gruppenrings Wir wollen einmal das Basiselement A = id - z2 + x1 + x2 + x3 - y2 - k2 - k4 durch die Darstellungsmatrizen in der Basis (A, B, C) darstellen (siehe Spalte rechts). Man erkennt also: (A/8)2 = (A/8). Ein Element, das seinem Quadrat gleich ist, wird idempotent genannt. Führt man das oben beschriebene Verfahren mit der Gruppenmatrix durch, so sind die Terme auf der Diagonale der Gruppenmatrix, wenn man sie noch mit einem geeigneten Nenner versieht (im Fall von Typ 4: Nenner 8), idempotente Elemente des Gruppenringes. |
Matrizendarstellung von A in der Basis (A, B, C): Das Basiselement B wird durch eine 3x3-Matrix dargestellt, die nur an der Stelle (2;1) eine 1 uns sonst überall Nullen hat, das Basiselement C durch eine Matrix, die nur an der Stelle (3;1) eine 1 und sonst überall Nullen hat. Diese Elemente sind nilpotent. Die Idempotenz von A/8= (id-z2+x1+x2+x3-y2-k2-k4)/8 können wir auch so einsehen: |
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Typ 5: |
Eine weitere, isomorphe Darstellung vom Typ 5 könnten wir aus obiger Darstellung wieder über die Konstruktion der Gruppenmatrix (s.oben) gewinnen. |
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Noch eine Art, eine Darstellung vom Typ 5 zu gewinnen: Wir betrachten nochmals die Diedergruppe D6 = {id, b1, b2, k3, k4, k5}: Wir definieren: |
Nun lassen wir die Gruppenelemente g der Würfeldrehgruppe von links auf die Basis Beispiel: Wirkung von d1 von links bewirkt folgende Permutationen: (c - d) wird (f - c) = - (c - f) Das ist nicht dieselbe Matrix wie oben; es entsteht somit nicht dieselbe Darstellung, sondern lediglich eine zur obigen Darstellung isomorphe Darstellung. |
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Wann sind zwei Darstellungen "gleichwertig", d.h. isomorph? Wir wir sahen, gibt es zu einer Darstellung viele zu ihr isomorphe Darstellungen. Diese will man als "gleichwertig" ansehen. Die interessante Frage ist vielmehr die nach der Anzahl nicht-isomorpher Darstellungen einer Gruppe. Sei eine Darstellung 1 der Gruppe G im Vektorraum V und eine Darstellung 2 der Gruppe G im Vektorraum V' gegeben. Die Darstellungen sind isomorph, wenn ein Isomorphismus f von V nach V' existiert, der mit der Operation der Elemente g von G verträglich ist: Das bedeutet: Dem Vektor v ist der Vektor f(v) zugeordnet. Wende ich auf v und gleichzeitig auf f(v) die Operation g an, so sind die neuen Elemente g⋅v und g⋅f(v) einander ebenfalls wieder via f zugeordnet, d.h. g⋅f(v) = f(g⋅v). |
Wählen wir in V und V' = f(V) je eine Basis, so werden v und f(v) Spaltenvektoren [v] und [v']. Die G-Verträglichkeit bedeutet dann X'A = AX oder X' = AXA-1. Ein wichtiger Spezialfall ist V = V'. A ist dann ein Automorphismus von V, und es ist X' = X. Die G-Verträglichkeit bedeutet dann XA = AX oder A = X-1AX, d.h. A bleibt stabil unter Konjugation mit allen Darstellungsmatrizen X der Elemente von G. |
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Vergleich der beiden isomorphen Darstellungen vom Typ 5 oben:
Ein Isomorphismus f zwischen den beiden Vektorräumen V1 mit Basis Man verifiziert, dass für alle Darstellungsmatrizen X von V1 (Basis 1) und X' von V2 |
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G-invariante Unterräume Wir betrachten zwei isomorphe (nicht unbedingt irreduzible) Darstellungen der Gruppe G in den Vektorräumen V und V'. Sei f eine G-verträgliche, lineare Abbildung von V auf V'. Weiter oben unter "Abspalten der identischen Darstellung durch Basiswechsel" haben wir gesehen, dass eine Zerlegung des Vektorraums in eine direkte Summe von G-invarianten Unterräumen wesentlich ist für die Blockbildung bei den Darstellungsmatrizen. Sei der Unterraum U G-invariant. |
Beweis: 1) Sei u ∈ U => g⋅u ∈ U => sowohl f(u) als auch g⋅f(u) = f(g⋅u) liegen im Bild Im(f) von f. 2) Sei u ∈ ker(f), d.h. f(u) = 0 => f(g⋅u) = g⋅f(u) = g⋅0 = 0, d.h. g⋅u ∈ ker(f). Ein wichtiger Spezialfall ist V = V'. f ist dann eine G-verträgliche lineare Abbildung von V in sich (ein G-verträglicher Endomorphismus). |
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Das Lemma von Schur Generalvoraussetzung: Sei der Koeffizientenkörper ein algebraisch abgeschlossener Körper mit Charakteristik 0 (zum Beispiel der Körper der komplexen Zahlen). Zur Erinnerung: Eine Darstellung der Gruppe G auf dem endlichdimensionalen Vektorraum V ist ein Homomorphismus ρ, der jedem Gruppenelement g einen invertierbaren Endomorphismus, also einen Automorphismus, von V zuordnet. |
Das Lemma von Schur besagt dann: 1) Entweder ist f ein Isomorphismus oder die Nullabbildung. 2) Sind V1 = V2 und ρ1 = ρ2, so ist f eine Multiplikation mit einem Skalar. |
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Das Zentrum der Gruppenalgebra R Wir haben anfänglich die Konjugationsklassen beschrieben. Eine Klasse besteht aus allen zueinander konjugierten Elementen. C1: {id} Konjugation mit irgendeinem g der Würfeldrehgruppe führt ein Element einer Konjugationsklasse in ein anderes Element derselben Konjugationsklasse über. Beispiel: g = a1. Wir konjugieren k1 mit g = a1: Nun bilden wir aus jeder Konjugationsklasse die Klassensumme: |
Satz: |
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Ein Satz der Gruppentheorie lautet: Es gibt genau so viele Isomorphietypen irreduzibler Darstellungen der Gruppe wie es Konjugationsklassen der Gruppe gibt. |
Die Würfeldrehgruppe hat somit bis auf Isomorphie 5 irreduzible Darstellungen. Wir haben 5 solche nicht isomorphe Darstellungen oben aufgeführt (Typen 1 - 5). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ein Set nicht weiter zerlegbarer, zueinander orthogonaler, idempotenter Elemente: pdf. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Die Reduktion der regulären Darstellung der Symmetrischen Gruppe S3 | Hier wird obige Theorie noch einmal an einer kleineren Gruppe, der S3, veranschaulicht. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Die Deckabbildungen des gleichseitigen Dreiecks gehorchen der S3:
g1=id, g2=Drehung um 120°, g3=Drehung um 240°, g4, g5, g6=Klappungen. Hier die reguläre Darstellung (die g wirken auf die andern Gruppenelemente und permutieren sie):
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Es gibt so viele irreduzible Darstellungen der S3 wie es Partitionen der Zahl 3 gibt: Es gibt also zwei Darstellungen von Dimension 1 und eine von Dimension 2. 1. Identische Darstellung: Jedem g wird die Matrix [1] zugeordnet. 2. g1, g2, g3 (den Drehungen) wird [1], g4, g5, g6 (den Klappungen) wird [-1] zugeordnet. Ist das Dreieck vorn und hinten verschieden gefärbt, wird den Operationen mit Farbwechsel [-1] zugeordnet. 3. Die zweidimensionale Darstellung: Man betrachtet drei Permutationsobjekte a,b,c (das können z.B. die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks sein). (a,b,c) ist die Basis eines Vektorraums. Jedem g entspricht dann eine Permutationsmatrix. Von dieser Darstellung spaltet man die identische Darstellung ab. Man betrachtet also die Veränderung der Basiselemente (a-b) und (a-c) unter der Wirkung von g. Man erhält:
Die Gruppenmatrix liefert |
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Das Verfahren mit der "Gruppenmatrix" ergibt (spaltenweise) folgende idempotente Elemente ei und folgende nilpotente Elemente ai: e1 = (g1 +g2 + g3 + g4 + g5 + g6)/6 e2 = (g1 + g2 + g3 - g4 - g5 - g6)/6 e3 = m11/3 = (g1 - g2 - g4 + g6)/3 Die reguläre Darstellung wird durch Übergang von der alten Basis (g1,...,g6) zur neuen Basis Die Matrix, welche die neuen Koordinaten in die alten umrechnet, lautet: Die Inverse ist: |
Die reduzierten Matrizen ergeben sich durch Konjugation TAT-1: Man sieht den sich wiederholenden Block der Darstellung mit Dimension 2 (dunkelgrün, hellgrün). Die reguläre Darstellung ist in Blöcke zerlegt. Summe der Dimensionen: 1 + 1 + 22 = 6. Man kann den sich wiederholenden Block der Dimension 2 weglassen und erhält dann eine Darstellung der Gruppenalgebra R der S3 mittels 4x4-Matrizen zur Basis (e1, e2, e3, a3): |
: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Wie sieht in dieser Darstellung z.B. e3 = (g1 - g2 - g4 + g6)/3 aus? | wie es sein muss. |
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Hier die Darstellungsmatrizen von e1, e2, e3, a3, a4, e4. e1 + e2 + e3 + e4 = id = Ring-Eins. Die ei sind nicht weiter zerlegbare orthogonale Idempotente; die ai sind nilpotent. Sei R die Gruppenalgebra der Gruppe G = S3. Der zur regulären Darstellung gehörige Vektorraum wird zerlegt in eine direkte Summe von G-invarianten, irreduziblen Teilräumen: |
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Das Zentrum der Gruppenalgebra R der Gruppe S3 Die Klassensummen bilden eine Basis des Zentrums von R: Die Zentrumselemente e1, e2 und (e3+e4) bilden ebenfalls eine ("neue") Basis von R. |
Die Transitionsmatrix von neu zu alt lautet: |
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