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Proportionen in ähnlichen Bildern
Bild rechts zeigt einen um Faktor 1.6 vergrösserten Ausschnitt aus Bild links. Die Längen links verhalten sich zu den entsprechenden Längen rechts wie 5 : 8.
In ähnlichen Bildern bleiben die Proportionen erhalten.
Beispiele:
x : x' = y : y'.
x : x' = w : w'.
z : y = z' : y'.
Die Verhältnisse übertragen sich von einem Bild zum andern.
Aber auch:
x : z = x' : z'
z : w = z' : w'
(x - w) : z = (x' - w') : z'
Die inneren Verhältnisse sind in beiden Bildern die gleichen. |
Ähnliche Dreiecke
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Die beiden Dreiecke sind ähnlich, das heisst sie besitzen die gleichen Proportionen. Wiederum sind verschiedene Verhältnisgleichungen möglich:
x : y = a : b
a : b = c : d
Auch die inneren Verhältnisse sind in beiden Dreiecken die gleichen:
x : a = y : b
c : x = d : y
a : c = b : d, usw.
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Werden nun die beiden Dreiecke "ineinander geschachtelt" wie das Bild oben zeigt, so bleiben die Verhältnisgleichungen, die links beschrieben werden, bestehen.
Beispiel:
x : y = a : b
x : y = c : a
Diese Gleichungen kennt man unter dem Stichwort "2.Strahlensatz". Besser ist es, sich wirklich die beiden ähnlichen Dreiecke vorzustellen und analoge Seiten zueinander ins Verhältnis zu setzen. |
Auflösen von Verhältnisgleichungen (Proportionen)
Bei Verhältnisgleichungen, auch Proportionen genannt, gilt:
Innenprodukt = Aussenprodukt.
Beispiel: x : y = a : b <=> ay = bx.
Jede Verhältnisgleichung kann so in eine Produktgleichung umgewandelt werden. |
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Dreisätze als Verhältnisgleichungen
Dreisätze können auch als Verhältnisgleichungen dargestellt werden.
Beispiel:
Eine Maschine stellt pro Stunde 18 Teile her. Wie lange dauert die Herstellung von 1000 Teilen?
Lösung
18 T. : 60 min = 1000 T. : x min <=> 60'000 = 18x <=> x = 3333min20s.
oder:
x min : 60 min = 1000 T. : 18 T. <=> 60'000 = 18x.
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Weiteres Beispiel:
15'000 Fr. geben 450 Fr. Zins. - Wie gross ist ein Kapital, das bei gleichem Zinsfuss 1000 Fr. Zins gibt?
Lösung
15'000 Fr. : 450 Fr. = x Fr. : 1000 Fr. <=> 450x = 15'000'000 <=> x = 33'333.33 Fr.
oder:
15'000 Fr. : x Fr. = 450 Fr. : 1000 Fr. <=> 450x = 15'000'000.
Weiteres Beispiel:
Bei einem alten Hochrad dreht das Hinterrad 15 Mal, wenn sich das Vorderrad zwei Mal dreht. Wie oft dreht sich das Hinterrad, wenn sich das Vorderrad 1000 Mal gedreht hat?
Lösung
2 : 15 = 1000 : x <=> 15'000 = 2x <=> x = 7500. |
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Farb-Verteilungen
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Farbgewichte
Was sind Farbgewichte? Die gelben Felder im Bild links wirken kräftiger als die blauen oder violetten, da sie heller sind. Sie haben im Bild "mehr Gewicht". Ein Bild kann farblich ausgewogen sein oder auf eine Seite "kippen", weil dort viele auffällige Farben sind.
Wir sehen 36 kleine Quadrate in 6 verschiedenen Farben. Die Helligkeiten wurden per Computer wie folgt gewählt:
Gelb : Orangebraun : Grün : Rotbraun : Violett : Blau =
100% : 60% : 60% : 40% : 40% : 30% = 10 : 6 : 6 : 4 : 4 : 3.
Aufgabe 1
Wir verlangen, dass die Anzahl kleiner Quadrate pro Farbton umgekehrt proportional zu ihrer Helligkeit sein soll, das heisst, weil z.B. Grün doppelt so hell leuchtet wie Blau (Helligkeitsverhältnis 6 : 3) , soll es nur halb so oft vorkommen wie dieses (Häufigkeitsverhältnis 3 : 6) . Wie viele Quadrate jeder Farbe sind dann in einem 6x6-Bild vorhanden?
Aus der Geschichte der Farbentheorie
Der Farbtheoretiker Adolf Hölzel überlegte so: Wenn eine Reihe wie
10 : 6 : 6 : 4 : 4 : 3 die Helligkeitsintensitäten darstellt, dann erhalte ich die umgekehrt proportionale Verteilung einfach durch Rückwärts-Notieren dieser Reihe: 3 : 4 : 4 : 6 : 6 : 10. Stimmt das?
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Lösung
Die Methode des Rückwärts-Lesens ist falsch! Hölzel hätte das schon am Intensitätsverhältnis Gelb : Orangebraun = 10 : 6 = 5 : 3 sehen können. Nach seiner Reihe wäre das Umkehrverhältnis, also das Häufigkeitsverhältnis, gleich 3 : 4, es muss aber 3 : 5 sein (die Umkehrung von 5 : 3). Die reziproken Verhältnisse erhält man nicht durch Rückwärts-Notieren, sondern durch Bilden der Kehrwerte:
Verteilung der Häufigkeit = 1/10 : 1/6 : 1/6 : 1/4 : 1/4 : 1/3. Diese Reihe erweitern wir mit dem Hauptnenner 60 und erhalten 6 : 10 : 10 : 15 : 15 : 20. In diesem Verhältnis sind die Farben in die 36 Felder zu füllen. Wir prüfen: Gelb : Orangebraun = 6 : 10 = 3 : 5 wie es sein soll. Auch die übrigen Verhältnisse stimmen.
Aufgabe 2
Die Summe der Reihe 6 : 10 : 10 : 15 : 15 : 20 beträgt 76. Das heisst: Hätten wir ein Bild mit 76 Feldern, könnten wir die Zahlen dieser Häufigkeitsverteilung unverändert übernehmen. Wir haben jedoch ein Bild mit nur 36 Feldern, möchten also eine Verhältnis-Reihe mit Summe 36. Wie lauten die Verhältniszahlen, wenn die Summe 36 sein soll?
Lösung
Wir multiplizieren die Reihe 6 : 10 : 10 : 15 : 15 : 20 mit dem Faktor 36/76 = 9/19 durch. Bei diesem Erweitern bleiben die Verhältnisse unverändert. Wir erhalten
2.84 : 4.74 : 4.74 : 7.105 : 7.105 : 9.47. Die Summe beträgt nun 36 wie gewünscht. Wir wählen also (gerundet) 3 gelbe, je 5 orange und grüne, je 7 rotbraune und violette und 9 blaue Quadrätchen.
Hölzels mathematischer Irrtum wurde übrigens von weiteren Farbtheoretikern unbemerkt übernommen. Das ist nicht weiter schlimm, sind solche Zahlenspielereien doch ohnehin recht willkürlich. Es ist ja wohl nicht zulässig, die Wirkung von Farben einseitig auf ihren Helligkeitswert zu reduzieren. Die Wirkung einer Farbe hängt von weiteren wichtigen Faktoren ab, etwa von der Struktur der Seh-Stäbchen in den Augen, von psychologischen Einflüssen, usw.
"Gleichgewicht"
An einer grossen Ausstellung 1986 in Darmstadt zum Thema "Symmetrie" konnte man mit Elementen eines Mondrian-Bildes spielen, die aus verschieden schweren Metallplatten bestanden. Je heller die Farbe, desto dicker war die zugehörige Platte ("höheres Farbgewicht"). Man legte die Metallteile auf der Bildfläche aus und betätigte anschliessend einen Hebel, worauf das Bild nur noch in der Mitte gestützt wurde. Man konnte so kontrollieren, ob das Bild sich "im Gleichgewicht" befand oder ob es "kippte".
Solche Spielereien sind amüsant, aber man sollte sie nicht allzu ernst nehmen. - Im Bild oben könnten die kleinen Quadrätchen z.B. folgende Gewichte haben: Gelb 100 g, Orangebraun und Grün je 60 g, Rotbraun und Violett je 40 g und Blau 30 g. Würden wir obiges Bild aus solchen Plättchen aufbauen, läge der Schwerpunkt ziemlich genau in der Bildmitte, d.h. das Bild ist "optisch im Gleichgewicht" (und vielleicht gerade deswegen nicht besonders interessant).
Aufgabe 3
a) Die Farben sollen im Verhältnis 6 : 10 : 10 : 12 : 12 : 20 in einen Raster mit 105 Feldern verteilt werden. Wie lautet die Verteilung mit der Summe 105?
b) Vier Farben sollen im Verhältnis 3 : 6 : 4 : 7 in einen Raster mit 50 Feldern verteilt werden. Wie lautet die Verteilung mit Summe 50?
c) Die Helligkeitsverteilung sei 9 : 6 : 6 : 3 : 1. Wie lautet die dazu reziproke Häufigkeitsverteilung (ganzzahlig erweitert)? - Wie wird damit ein Raster mit 160 Feldern gefüllt?
Lösung
a) 6 : 10 : 10 : 12 : 12 : 20 hat Summe 70. Wir erweitern mit 105/70 = 3/2 und erhalten 9 : 15 : 15 : 18 : 18 : 30. Verhältnisse bleiben beim Erweitern; die Summe wird 105.
b)
3 : 6 : 4 : 7 hat Summe 20. Wir erweitern die Reihe mit 50/20 = 5/2 und erhalten 7.5 : 15 : 10 : 17.5. Entweder färben wir auch halbe Felder oder wir begehen einen kleinen Rundungsfehler.
c) 1/9 : 1/6 : 1/6 : 1/3 : 1/1 = 2 : 3 : 3 : 6 : 18 (Erweitern mit Hauptnenner 18). Die Summe beträgt 32. Wir erweitern mit 5 und erhalten 10 : 15 : 15 : 30 : 90 mit Summe 160.
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Weitere Verteil-Aufgaben
Aufgabe:
5 Personen haben sich mit folgenden Einlagen an einem Geschäft beteiligt: A mit 2500 Fr., B mit 3000 Fr., C mit 1800 Fr., D mit 2700 Fr. und E mit 2000 Fr. Den Gewinn von 12'000 Fr. teilen sie sich im Verhältnis dieser Einlagen. Wieviel erhält jede Person?
Lösung:
Verhältnis der Einlagen gekürzt: 25 Teile : 30 Teile : 18 Teile : 27 Teile : 20 Teile; total 120 Teile t.
120 t = 12'000 Fr. => t = 100 Fr. => Gewinnverteilung = 2500 Fr. : 3000 Fr. : 1800 Fr. : 2700 Fr. : 2000 Fr. (total 12'000 Fr.).
Aufgabe:
Die Seiten eines Dreiecks verhalten sich wie 5 : 8 : 9. Der Umfang beträgt 33 cm. Wie lang sind die Seiten?
Lösung:
5t : 8t : 9t sind zusammen 22t = 33 cm => t = 3/2 cm => Seiten = 7.5 cm : 12 cm : 13.5 cm. (Summe = 33 cm.)
Aufgabe:
Drei Zahlen verhalten sich wie 4 : 5 : 6. Der Unterschied zwischen der grössten und der kleinsten Zahl beträgt 15. Wie heissen die drei Zahlen?
Lösung:
4t : 5t : 6t. Unterschied zwischen grösster und kleinster = 2t = 15. => t = 7.5 => Zahlen = 30 : 37.5 : 45. |
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