mathpoint.ch    
  Verhältnisse, Proportionen
   
 
   
  zum Index
 

 

 

Was sind Proportionen?

monochord   monochord

Als Proportionen bezeichnet man Verhältnisse, aber auch Verhältnisgleichungen der Form a : b = c : d.
Der römische Architekt Vitruv (um 50 v. Chr.) beschrieb z.B. die Proportionen des menschlichen Körpers:
Körperhöhe : Kopfhöhe = 8 : 1
Körperhöhe : Gesichtshöhe = 10 : 1
Das Gesicht (von Kinn bis Haaransatz) teilte er in drei gleiche Teile ein: Kinn bis unter die Nase, von dort weiter bis zu den Augenbrauen und dann bis zum Haaransatz.
Zwei Drittel des Gesichts sollen nach Vitruv der Breite des Gesichts (ohne die Ohren) entsprechen.

Pythagoras (um 500 v. Chr) brachte Verhältnisse in Zusammenhang mit Klängen. Dazu diente ihm das Monochord (s. Bild oben).
Die Grundsaite (Länge = 1) erzeugt einen bestimmten Ton. Wird sie mittels eines beweglichen Steges halbiert (Länge = 1/2) , erklingt die Oktave. Verschiebt man den kleinen Steg, ertönen andere Intervalle.
Die Folge 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... wird harmonische Folge genannt. Ist etwa die Grundsaite der Länge 1 auf C gestimmt, erklingen der Reihe nach beim Anzupfen der Saiten mit Längen 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... die Töne C - c - g - c ' - e' - g' - b'* - c'' - d'' - e'' - ... Das ist die Obertonreihe zum Grundton C. Überbläst man Blasinstrumente, erklingen ebenfalls diese Obertöne.

 

harmon_reihe

 

Mehr zu Mathematik und Musik hier.
pdf zu Mathematik und Musik


 
 

Grosse Bilder - kleine Bilder (Ähnlichkeit)

matrushka

On being the right size: Warum wir so gross sind wie wir sind

On being the right size: der Originaltext von J.Haldane als pdf


Aufgabe 1
a) In welchem Massstab ist das Bild unten links (ca. 9.7 cm Längsachse) ungefähr dargestellt? Runden Sie auf ganze Hunderter.
b) Wie verhalten sich die Längen von Bild links zu Bild rechts ungefähr?
c) In welchem Massstab ist das Bild unten rechts ungefähr dargestellt?
d) Wie hoch ist der Turm in Metern?

exeter1 exeter2
 

Exeter Cathedral, England

exeter3

Bildquelle: http://www.exeter-cathedral.org.uk/plan.html

     
 
 

Lösung:
a) 11700 cm : 9.7 cm ergibt ca. 1200. D.h. der Massstab ist ca. 1 : 1200.
b) ca. 5 : 8. Alle Verhältnisse bleiben erhalten, das Bild rechts ist jedoch gegenüber dem Bild links um den Faktor 8/5 = 1.6 vergrössert.
c) 1200 : 1.6 = 750. Der Massstab des Bildes rechts ist ca. 1 : 750.
d) 44 m




 
 
exeter5  

Proportionen in ähnlichen Bildern

Bild rechts zeigt einen um Faktor 1.6 vergrösserten Ausschnitt aus Bild links. Die Längen links verhalten sich zu den entsprechenden Längen rechts wie 5 : 8.

In ähnlichen Bildern bleiben die Proportionen erhalten.

Beispiele:

x : x' = y : y'.
x : x' = w : w'.
z : y = z' : y'.
Die Verhältnisse übertragen sich von einem Bild zum andern.

Aber auch:

x : z = x' : z'
z : w = z' : w'
(x - w) : z = (x' - w') : z'
Die inneren Verhältnisse sind in beiden Bildern die gleichen.

Ähnliche Dreiecke

prop3

  prop2

Die beiden Dreiecke sind ähnlich, das heisst sie besitzen die gleichen Proportionen. Wiederum sind verschiedene Verhältnisgleichungen möglich:

x : y = a : b
a : b = c : d

Auch die inneren Verhältnisse sind in beiden Dreiecken die gleichen:

x : a = y : b
c : x = d : y
a : c = b : d, usw.


 

Werden nun die beiden Dreiecke "ineinander geschachtelt" wie das Bild oben zeigt, so bleiben die Verhältnisgleichungen, die links beschrieben werden, bestehen.

Beispiel:

x : y = a : b
x : y = c : a

Diese Gleichungen kennt man unter dem Stichwort "2.Strahlensatz". Besser ist es, sich wirklich die beiden ähnlichen Dreiecke vorzustellen und analoge Seiten zueinander ins Verhältnis zu setzen.

Auflösen von Verhältnisgleichungen (Proportionen)

Bei Verhältnisgleichungen, auch Proportionen genannt, gilt:

Innenprodukt = Aussenprodukt.

Beispiel: x : y = a : b <=> ay = bx.

Jede Verhältnisgleichung kann so in eine Produktgleichung umgewandelt werden.

   



Dreisätze als Verhältnisgleichungen

 

Dreisätze können auch als Verhältnisgleichungen dargestellt werden.


Beispiel:


Eine Maschine stellt pro Stunde 18 Teile her. Wie lange dauert die Herstellung von 1000 Teilen?

 

Lösung


18 T. : 60 min = 1000 T. : x min <=> 60'000 = 18x <=> x = 3333min20s.
oder:
x min : 60 min = 1000 T. : 18 T. <=> 60'000 = 18x.

 

Weiteres Beispiel:
15'000 Fr. geben 450 Fr. Zins. - Wie gross ist ein Kapital, das bei gleichem Zinsfuss 1000 Fr. Zins gibt?

Lösung
15'000 Fr. : 450 Fr. = x Fr. : 1000 Fr. <=> 450x = 15'000'000
<=> x = 33'333.33 Fr.
oder:
15'000 Fr. : x Fr. = 450 Fr. : 1000 Fr. <=> 450x = 15'000'000.

Weiteres Beispiel:
hochrad

Bei einem alten Hochrad dreht das Hinterrad 15 Mal, wenn sich das Vorderrad zwei Mal dreht. Wie oft dreht sich das Hinterrad, wenn sich das Vorderrad 1000 Mal gedreht hat?

Lösung
2 : 15 = 1000 : x <=> 15'000 = 2x <=> x = 7500.

     
     
     



 
 

Farb-Verteilungen

farbmetrik1

 

Farbgewichte

Was sind Farbgewichte? Die gelben Felder im Bild links wirken kräftiger als die blauen oder violetten, da sie heller sind. Sie haben im Bild "mehr Gewicht". Ein Bild kann farblich ausgewogen sein oder auf eine Seite "kippen", weil dort viele auffällige Farben sind.

Wir sehen 36 kleine Quadrate in 6 verschiedenen Farben. Die Helligkeiten wurden per Computer wie folgt gewählt:

Gelb : Orangebraun : Grün : Rotbraun : Violett : Blau =
100% : 60% : 60% : 40% : 40% : 30% = 10 : 6 : 6 : 4 : 4 : 3.

Aufgabe 1
Wir verlangen, dass die Anzahl kleiner Quadrate pro Farbton umgekehrt proportional zu ihrer Helligkeit sein soll, das heisst, weil z.B. Grün doppelt so hell leuchtet wie Blau (Helligkeitsverhältnis 6 : 3) , soll es nur halb so oft vorkommen wie dieses (Häufigkeitsverhältnis 3 : 6) . Wie viele Quadrate jeder Farbe sind dann in einem 6x6-Bild vorhanden?

Aus der Geschichte der Farbentheorie
Der Farbtheoretiker Adolf Hölzel überlegte so: Wenn eine Reihe wie
10 : 6 : 6 : 4 : 4 : 3 die Helligkeitsintensitäten darstellt, dann erhalte ich die umgekehrt proportionale Verteilung einfach durch Rückwärts-Notieren dieser Reihe: 3 : 4 : 4 : 6 : 6 : 10. Stimmt das?

 

Lösung
Die Methode des Rückwärts-Lesens ist falsch! Hölzel hätte das schon am Intensitätsverhältnis Gelb : Orangebraun = 10 : 6 = 5 : 3 sehen können. Nach seiner Reihe wäre das Umkehrverhältnis, also das Häufigkeitsverhältnis, gleich 3 : 4, es muss aber 3 : 5 sein (die Umkehrung von 5 : 3). Die reziproken Verhältnisse erhält man nicht durch Rückwärts-Notieren, sondern durch Bilden der Kehrwerte:

Verteilung der Häufigkeit = 1/10 : 1/6 : 1/6 : 1/4 : 1/4 : 1/3. Diese Reihe erweitern wir mit dem Hauptnenner 60 und erhalten 6 : 10 : 10 : 15 : 15 : 20. In diesem Verhältnis sind die Farben in die 36 Felder zu füllen. Wir prüfen: Gelb : Orangebraun = 6 : 10 = 3 : 5 wie es sein soll. Auch die übrigen Verhältnisse stimmen.

Aufgabe 2
Die Summe der Reihe 6 : 10 : 10 : 15 : 15 : 20 beträgt 76. Das heisst: Hätten wir ein Bild mit 76 Feldern, könnten wir die Zahlen dieser Häufigkeitsverteilung unverändert übernehmen. Wir haben jedoch ein Bild mit nur 36 Feldern, möchten also eine Verhältnis-Reihe mit Summe 36. Wie lauten die Verhältniszahlen, wenn die Summe 36 sein soll?

Lösung
Wir multiplizieren die Reihe 6 : 10 : 10 : 15 : 15 : 20 mit dem Faktor 36/76 = 9/19 durch. Bei diesem Erweitern bleiben die Verhältnisse unverändert. Wir erhalten
2.84 : 4.74 : 4.74 : 7.105 : 7.105 : 9.47. Die Summe beträgt nun 36 wie gewünscht. Wir wählen also (gerundet) 3 gelbe, je 5 orange und grüne, je 7 rotbraune und violette und 9 blaue Quadrätchen.

Hölzels mathematischer Irrtum wurde übrigens von weiteren Farbtheoretikern unbemerkt übernommen. Das ist nicht weiter schlimm, sind solche Zahlenspielereien doch ohnehin recht willkürlich. Es ist ja wohl nicht zulässig, die Wirkung von Farben einseitig auf ihren Helligkeitswert zu reduzieren. Die Wirkung einer Farbe hängt von weiteren wichtigen Faktoren ab, etwa von der Struktur der Seh-Stäbchen in den Augen, von psychologischen Einflüssen, usw.

"Gleichgewicht"
An einer grossen Ausstellung 1986 in Darmstadt zum Thema "Symmetrie" konnte man mit Elementen eines Mondrian-Bildes spielen, die aus verschieden schweren Metallplatten bestanden. Je heller die Farbe, desto dicker war die zugehörige Platte ("höheres Farbgewicht"). Man legte die Metallteile auf der Bildfläche aus und betätigte anschliessend einen Hebel, worauf das Bild nur noch in der Mitte gestützt wurde. Man konnte so kontrollieren, ob das Bild sich "im Gleichgewicht" befand oder ob es "kippte".
Solche Spielereien sind amüsant, aber man sollte sie nicht allzu ernst nehmen. - Im Bild oben könnten die kleinen Quadrätchen z.B. folgende Gewichte haben: Gelb 100 g, Orangebraun und Grün je 60 g, Rotbraun und Violett je 40 g und Blau 30 g. Würden wir obiges Bild aus solchen Plättchen aufbauen, läge der Schwerpunkt ziemlich genau in der Bildmitte, d.h. das Bild ist "optisch im Gleichgewicht" (und vielleicht gerade deswegen nicht besonders interessant).

Aufgabe 3
a) Die Farben sollen im Verhältnis 6 : 10 : 10 : 12 : 12 : 20 in einen Raster mit 105 Feldern verteilt werden. Wie lautet die Verteilung mit der Summe 105?
b) Vier Farben sollen im Verhältnis 3 : 6 : 4 : 7 in einen Raster mit 50 Feldern verteilt werden. Wie lautet die Verteilung mit Summe 50?
c) Die Helligkeitsverteilung sei 9 : 6 : 6 : 3 : 1. Wie lautet die dazu reziproke Häufigkeitsverteilung (ganzzahlig erweitert)? - Wie wird damit ein Raster mit 160 Feldern gefüllt?

Lösung
a) 6 : 10 : 10 : 12 : 12 : 20 hat Summe 70. Wir erweitern mit 105/70 = 3/2 und erhalten 9 : 15 : 15 : 18 : 18 : 30. Verhältnisse bleiben beim Erweitern; die Summe wird 105.
b) 3 : 6 : 4 : 7 hat Summe 20. Wir erweitern die Reihe mit 50/20 = 5/2 und erhalten 7.5 : 15 : 10 : 17.5. Entweder färben wir auch halbe Felder oder wir begehen einen kleinen Rundungsfehler.
c) 1/9 : 1/6 : 1/6 : 1/3 : 1/1 = 2 : 3 : 3 : 6 : 18 (Erweitern mit Hauptnenner 18). Die Summe beträgt 32. Wir erweitern mit 5 und erhalten 10 : 15 : 15 : 30 : 90 mit Summe 160.


 
 

prop1

 

Verhältnisse "übertragen"

Kleine Farbquadrate in 7 verschiedenen Farben sind im Häufigkeitsverhältnis
5 : 5 : 10 : 10 : 15 : 15 : 20 in einem 8x8-Raster anzuordnen. Wie oft kommt jede Farbe vor?

Lösung:
Wir erweitern die Verhältnisreihe mit 4/5 und erhalten 4 : 4 : 8 : 8 : 12 : 12 : 16 (Summe 64).
Bild links zeigt eine geometrische Lösung: Die Verhältnisreihe oben (braun) mit Gesamtlänge 80 wird durch parallele Strahlen auf eine Strecke der Länge 64 übertragen.

 


   
 
 

Weitere Verteil-Aufgaben

Aufgabe:
5 Personen haben sich mit folgenden Einlagen an einem Geschäft beteiligt: A mit 2500 Fr., B mit 3000 Fr., C mit 1800 Fr., D mit 2700 Fr. und E mit 2000 Fr. Den Gewinn von 12'000 Fr. teilen sie sich im Verhältnis dieser Einlagen. Wieviel erhält jede Person?

Lösung:
Verhältnis der Einlagen gekürzt: 25 Teile : 30 Teile : 18 Teile : 27 Teile : 20 Teile; total 120 Teile t.
120 t = 12'000 Fr. => t = 100 Fr. => Gewinnverteilung = 2500 Fr. : 3000 Fr. : 1800 Fr. : 2700 Fr. : 2000 Fr. (total 12'000 Fr.).

Aufgabe:
Die Seiten eines Dreiecks verhalten sich wie 5 : 8 : 9. Der Umfang beträgt 33 cm. Wie lang sind die Seiten?

Lösung:
5t : 8t : 9t sind zusammen 22t = 33 cm => t = 3/2 cm => Seiten = 7.5 cm : 12 cm : 13.5 cm. (Summe = 33 cm.)

Aufgabe:
Drei Zahlen verhalten sich wie 4 : 5 : 6. Der Unterschied zwischen der grössten und der kleinsten Zahl beträgt 15. Wie heissen die drei Zahlen?

Lösung:
4t : 5t : 6t. Unterschied zwischen grösster und kleinster = 2t = 15. => t = 7.5 => Zahlen = 30 : 37.5 : 45.