mathpoint.ch | |||||
Trigonometrie | |||||
Schwingungen einer Stimmgabel
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Geogebra-Modell |
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Tageslänge näherungsweise modelliert mit Sinusfunktion |
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Eine unveränderte Sinusfunktion y = sin(x), x im Bogenmass, hat Periode 2π. Fazit: Will ich eine Sinusfunktion mit Periode T modellieren (mit x im Bogenmass!), so wähle ich |
Aufgabe: Tageslänge mittels einer Sinusfunktion modellieren:
Die Tageslänge in Zürich beträgt am 21. März 12.2 h, am 21. Juni 15.9 h.
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Lösung
Wir benötigen eine Sinusfunktion mit Periode 12 (Monate): y = A sin(2πx / 12) + d oder y = A sin(πx / 6) + d. y(0) = 12.2 h => d = 12.2 => y = A sin(πx / 6) + 12.2. y(3) = 15.9 h => A sin(3π / 6) + 12.2 = 15.9 oder A sin(π/2) = 3.7 => A⋅1 = A = 3.7. Somit lautet die gesuchte Funktion: y = 3.7 sin(πx / 6) + 12.2. |
21. Januar: f(-2) = 9h 21. November: f(8) = 9h 21. Dezember: f(9) = 8.5 h Die berechnete Sinusfunktion liefert einen recht genauen Näherungswert. Die Sinuskurve ist im Frühling und im Herbst am steilsten, im Sommer und im Winter am flachsten. Im Sommer und im Winter ändert also die Tageslänge von Tag zu Tag nur sehr schwach, im Frühling und im Herbst deutlich stärker (siehe Grafik unten). |
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Rechts: Grafik zu y = 3.7 sin(πx / 6) + 12.2. x = Anzahl Monate ab 21.3. (21.3.: x = 0 bzw. x = 12) (Die x-Achse ist bei y = 8 eingezeichnet, um die Grafik nicht unnötig zu vergrössern!) |
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Gezeitenverlauf modelliert mit Sinusfunktion | ||||
Aufgabe Die Gezeiten verlaufen mit einer Periode von ca.12.5 Stunden. Der Verlauf des Wasserstandes ist ungefähr sinusförmig. An einem Ort betrage der Unterschied des Wasserpegels zwischen Ebbe und Flut 7 Meter. |
Lösung a) Periode: 12.5 h. Amplitude 3.5 m. Folglich f(x) = 3.5⋅sin(2πx / 12.5). b) Nulllage bei x = 0. Höchststand bei 12.5 / 4 = 3.125. Diese Modellierung ist lediglich eine grobe Näherung für kurzzeitige Abschätzungen. Insbesondere ist auch die Periode 12.5 h lediglich ein Näherungswert. |
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Rechts: Grafik zur Aufgabe | ||||
Testaufgaben | ||||
Mögliche Lösungswege mit Arbeitstipps |
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Aufgabe 1 |
Tipp: Man suche Dreiecke, von denen man 3 Stücke kennt: Dann kann man beliebige übrige Grössen dieses Dreiecks berechnen. Möglicher Lösungsweg (Plan): Mit b kennt man auch b/2, somit vom oberen Teildreieck 3 Stücke. Winkel bei C berechnen. Dann mit Kosinussatz c berechnen. Nun mit Sinussatz Winkel bei A berechnen
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Aufgabe 2 |
Farbskizze herstellen. Gegebenes farbig bezeichnen. Winkel bei C via Winkelsumme: 40°. a) Berechnungen mittels Sinussatz: c : sin(40°) = ... b) Flächeninhalt mittels Sinus-Flächenformel berechnen: Seite mal Seite mal Sinus Zwischenwinkel dividiert durch 2. c) Doppelter Flächeninhalt dividiert durch Länge b gleich Länge der gesuchten Höhe. |
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Aufgabe 3 |
Die Dreiecke ACS und BCS sind vollständig bekannt (3 Stücke; man beachte die rechten Winkel!). h : BC = tan(β) => BC Analog: AC Mit AC, BC und γ ergibt sich AB via Kosinussatz. BS und AS können via Pythagoras berechnet werden. Zusammen mit AB und via Kosinussatz ergibt sich σ.
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Aufgabe 4 |
Wir vernachlässigen zunächst die 1.5 m Augenhöhe und berechnen x: = h - 1.5 m. Wir führen noch die Horizontaldistanz Auge - Turm ein (gestrichelte Linie): y. Nun haben wir 2 Unbekannte eingeführt. Wir benötigen somit 2 Gleichungen: x : y = tan(51°) (x + 7) : y = tan(55°) Wir lösen nach y auf: y= x / tan(51°) = (x + 7) / tan(55°) (1 Gleichung mit 1 Unbekannten; nach x auflösen): x = 7⋅tan(51°) / [tan(55°) - tan(51°)]. Lösung: ca. 44.7 m. => h ergibt sich zu ca. 46.2 m.
Variante: Winkel bei der Antennenspitze ganz oben = 35° (Komplementwinkel im rechtwinkligen Dreieck). 7m : sin(4°) = s : sin(35°). (s = Abstand Auge - Turmspitze ohne Antenne). (h - 1.5) : s = sin(51°) => h - 1.5 = s⋅sin(51°). Dies ergibt für h ebenfalls ca. 46.2 m. |
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Aufgabe 5 |
Das Dreieck ABC ist vollständig bekannt. a) β via Sinussatz berechnen; ergibt auch γ via Winkelsumme. h : BC = sin(γ). Es ergibt sich h. b) CD : BC = cos(γ). Es ergibt sich CD. c) γ ist bereits berechnet. d) Vom Dreieck DMC (M = Zentrum des gezeichneten Inkreises) kennt man zwei Winkel: e) Sei P der Berührpunkt des gezeichneten Inkreises mit der gezeichneten Höhe h. Sei M wieder das Zentrum des Inkreises.
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Aufgabe 6
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a) Periode: 480°. Verschoben um 60° nach links. Amplitude 1. In y-Richtung keine Verschiebung. Somit: y = sin[(360°/480°)(α + 60°]) = sin[0.75(α + 60°)].
b) Spiegelung an horizontaler Achse: y = - sin[0.75(α + 60°)]
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Aufgabe 7 |
Die Funktion ist gegenüber der unveränderten Funktion y = sin(α) um 30° nach rechts verschoben und hat eine Amplitude von 1.5. Zudem ist sie in x-Richtung um Faktor 1 / 0.5, also um Faktor 2, gedehnt. a) Periode: 720° b) x = 0: y = 1.5⋅sin(0.5⋅(-30°)) = 1.5⋅sin(-15°) = -0.388 c) Argument = 0°: Für α = 30°. d) Hochpunkt: Argument = 90° => α = 210°. H(210° / 1.5) Visualisierung solcher Funktionen: siehe hier.
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Aufgabe 8 |
a) = tan²(α) / sin²(α) = (sin²(α) / cos²(α)) / sin²(α) = 1 / cos²(α) b) = 1 - cos²(α) = sin²(α)
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Aufgabe 9 |
= cos²(α) / sin²(α) + 1 = (1 - sin²(α)) / sin²(α) + 1 = (1 - sin²(α) + sin²(α)) / sin²(α) = 1 / sin²(α)
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