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  Potenzen mit Exponenten aus N, Z und Q
   
 
   
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Lernprogramm Potenzen (ganze und rationale Exponenten), pdf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  Ein Panoptikum zum Thema "Potenzen"      
 
 
 
 

Archimedes' Sandrechner

Links zum Thema:
http://unendliches.net/german/index.htm?sandzahl.htm
http://www.schiller-institut.de/seiten/journal/archiv/unendlichkeit.htm

     
 

archimedes

Archimedes lebte von 287 - 212 v. Chr. in Syrakus, Sizilien. Sein Sandrechner entstand zwischen 240 und 216 v.Chr. Archimedes schreibt in der Einleitung an den Herrscher von Syrakus:

"Etliche glauben, König Gelon, dass die Zahl der Sandkörner unendlich sei. Ich spreche dabei (...) vom Sande der ganzen bewohnten und unbewohnten Erde. Andere gibt es, die aber meinen, dass es keine so grosse Zahl gebe, die die Zahl der Sandkörner übertreffe. (...) Ich werde versuchen, (...) klar zu machen, dass Zahlen vorhanden sind, die (...) die Zahl der Sandkörner in einer Kugel, die so gross ist wie der Kosmos, (übertreffen)."

Das scheint heute einfach zu sein. Wir sind uns gewohnt, mit riesigen Zahlen zu operieren. Selbst Kinder kommen schnell auf die Idee, einer Zahl einfach beliebig viele Nullen anzuhängen und freuen sich über die immer verrückteren Namen, die man diesen Zahlen dann geben kann (Quadrillionen, Quadrilliarden, usw.). Wir Erwachsenen kennen zudem noch die Potenzschreibweise, um riesige Zahlen zu notieren.

Im alten Griechenland gab es jedoch kein Stellenwertsystem und die Potenzschreibweise war unbekannt. Eines der damals gebräuchlichen griechischen Zahlsysteme sah etwa so aus:

 
1 2 4 5 6 10 50 100 500 1'000 5'000 10'000
I II IIII Γ ΓI Δ ΓΔ H ΓH X ΓX M

M, die Myriade (10'000), war die höchste mit einem Buchstaben belegte Zahl. Es gab noch die Konstruktion ΓM für 50000, aber dann kam das System an sein Ende. Vor diesem Hintergrund waren die Überlegungen Archimedes' revolutionär. Er wollte dieses begrenzte System gewissermassen ins Unendliche öffnen.

  Zeichen
(in heutiger Potenz-schreibweise)
Heutige Schreibweise Substitution durch neuen Namen
1 Myriade M 104  
1 Myriade Myriaden M⋅M = M2 = A 108 Achtheit A
1 Myriade Achtheiten M⋅A 1012  
1 Achtheit Achtheiten A2 1016 2. Achtheit
1 Myriade zweite Achtheiten M⋅A2 1020  
1 Achtheit zweite Achtheiten A⋅A2 = A3 1024 3. Achtheit
A-te Achtheit AA = P 10800'000'000 Periode P
P Perioden P2 101'600'000'000 2. Periode
A-te Periode PA 1080'000'000'000'000'000  

Damit beschloss Archimedes seinen Aufbau, den man natürlich immer weiterführen könnte.
Die Zahl der Sandkörner eines mit Sand gefüllten Kosmos schätzte er auf eine Zahl, die wir heute mit 1063 bezeichnen würden. Seine Zahl P überstieg also diese Zahl bei Weitem.

Bemerkung: Natürlich benützte Archimedes nicht die oben verwendete Potenzschreibweise; diese war damals noch nicht bekannt, ebensowenig die Null. Er verwendete stattdessen die Namen "zweite, dritte, A-te Achtheit", usw.

 
 
 
 
  Die Schachlegende      
 

schachspiel

Das Schachspiel hat seinen Ursprung vermutlich in Indien, vielleicht aber auch in China. Folgende Legende ist wohl erfunden und hat mit dem eigentlichen Schachspiel nichts zu tun:

Ein reicher indischer Herrscher, dem man zum ersten Mal das Schachspiel präsentierte, rief den Erfinder zu sich und gewährte ihm einen beliebigen Wunsch. "Und sei nicht zu bescheiden!", rief er ihm zu.
"Nun gut", antwortete der Weise, "das sei mein Wunsch: Lege auf das erste Schachfeld 1 Reiskorn, auf das nächste 2, auf das dritte 4, auf das vierte 8, und so weiter, bis die 64 Felder gefüllt sind. Auf jedem Feld soll also die doppelte Anzahl Körner sein wie auf dem Feld zuvor." -
"Ein bescheidender Wunsch!", rief der Herrscher etwas verstimmt, "ich finde, du missachtest meine Grosszügigkeit! Doch wohlan, ich werde meine Diener anweisen, dir deine Reiskörner aus meinem Vorrat abzuzählen."
Und er befahl, die geforderte Anzahl Reiskörner bereit zu stellen.

 

(50'000 Körner sind etwa 1 Liter Reis. 1000 Liter sind ein Kubikmeter. Wieviele Kubikmeter Reis wird*) der Mann ungefähr erhalten?)

 

*) Er wird nicht. Vergleichen Sie die Zahl mit der derzeitigen Welternte an Reis.

 
 
 
 
  Katzen und Mäuse - ein Rätsel aus dem Papyrus Rhind (1650 AD)      
  katzen_maeuse  

Es gibt sieben Häuser,
in jedem Haus wohnen sieben Katzen.
Jede Katze frisst sieben Mäuse,
von denen jede wiederum sieben Kornähren gefressen hat.
In jeder Ähre sind sieben Samen.

 

(Wieviele Samen sind es insgesamt?)

 
 
 
 
  Moderne Namensmagie grosser und kleiner Zahlen      
 

Heute werden vor physikalische Einheiten Vorsilben gesetzt, um diese Einheiten zu vergrössern oder zu verkleinern:

Vorsilbe

Zeichen

Zehnerpotenz

Zahlwort

Tera T 1012 Billion
Giga G 109 Milliarde
Mega M 106 Million
Kilo k 103 Tausend
(Hekto) h 102 Hundert
(Deka) da 101 Zehn
- - 100 = 1 Eins
(dezi) d 10-1 Zehntel
(centi) c 10-2 Hundertstel
milli m 10-3 Tausendstel
mikro μ 10-6 Millionstel
nano n 10-9 Milliardstel
piko p 10-12 Billionstel
femto f 10-15 Billiardstel
atto a 10-18 Trillionstel
 

Beispiele grosser Zahlen (mit Ausnahme von NA als grobe Schätzungen):

Anzahl Zellen eines menschlichen Körpers 1013...1014
Anzahl Bakterien im menschlichen Körper 1015
Anzahl Moleküle in einem Mol Substanz (Avogadro-Zahl NA) 6.022⋅1023
Anzahl Atome in einem menschlichen Körper 7⋅1027
Anzahl Atome der Erde 6⋅1049
Anzahl Atome der Milchstrasse 1068
Anzahl Atome im sichtbaren Universum 1078...1080

 

Beispiele kleiner Zahlen

Grössenordnung Atomradius 10-10 m
Wellenlänge sichtbares Licht 380 ... 780 nm

 
 
 
 
  Die Zahl Googol      
 
universum googolplex
  http://simpsons.wikia.com/wiki/Springfield_Googolplex_Theatres

Link zum Thema: http://de.wikipedia.org/wiki/Googol

 

Um 1930 wurde der amerikanische Mathematiker Eduard Kasner gebeten, sich einen Namen für eine sehr grosse Zahl auszudenken.

Er übertrug diese Aufgabe seinem neunjährigen Neffen, der für die Zahl 10100 (eine 1 gefolgt von 100 Nullen) das Wort "Googol" erfand. Der Name der Internet-Suchmaschine google leitet sich daraus ab.

Die Zahl 10Googol wurde Googolplex genannt.
Diese Zahl hat mehr Nullen als es Teilchen im gesamten Universum gibt.

Googolplex ist übrigens keine Primzahl; ein Teiler ist -laut Literatur-
316'912'650'057'057'350'374'175'801'344'000'001.

Googolplex ist auch der Name des Kinos in der Simpson-Serie.

 
 
 
 
  Die Verzweigungsregel (Multiplikationsregel)      
  verzweigungsregeldolde  
  • Das Katzenrätsel aus dem Papyrus Rhind kann als mehrfach verzweigte "Dolde" visualisiert werden. Verzweigt sich jeder Ast in sieben Unteräste, von denen sich jeder erneut in sieben Unterunteräste verzweigt, so ergibt sich die Anzahl Enden als Siebnerpotenz. Wären im Bild links alle Unterverzweigungen eingezeichnet, so entstünden 73 Zweig-Enden.
  • Beim "Totogoal" ist von 13 Fussballpartien vorherzusagen, ob Team 1 oder Team 2 gewinnt oder ob die Partie unentschieden endet. Zu jeder der dreizehn Partien gibt es also drei Tippmöglichkeiten: 1, 2 oder x = unentschieden.
    Wieviele Tippmöglichkeiten gibt es also insgesamt?
  • Ein Sicherheitscode bestehe aus den Ziffern 0 bis 9 und den Buchstaben A bis F, angeordnet in acht Vierergruppen. Die Zeichen können gar nicht oder mehrfach vorkommen. Beispiel:
  A204 4BC5 07F2 CC3A DE01 997E AED5 72C8
  Wieviele verschiedene Codes gibt es (ausgedrückt als Zweierpotenz)?

  Das Alter des Universums wird auf ca. 14 Milliarden Jahre oder ca. 258 Sekunden geschätzt. Vergleichen Sie diese Zahl mit dem Ergebnis oben, wenn jede Sekunde ein neuer Code per Zufallsgenerator kreiert würde.


 
 
 
 
  Die gleichstufig temperierte chromatische Tonleiter - ein Zinseszinsprozess      
 

monochord

13-saitiges Monochord
Wird die Saitenlänge halbiert (oberste Saite), so ertönt gegenüber der unverkürzten Saite (unterste Saite) die Oktave. Die Abbildung zeigt die Reiteranordnung zeigt eine gleichstufig temperierte chromatische Tonleiter.

Bei jedem Halbtonschritt wird die vorhergehende Saitenlänge mit dem Faktor q = 0.943874... gezoomt.
Bei dieser ominösen Zahl handelt es sich um die zwölfte Wurzel aus 0.5.
Jede nachfolgende Saite hat also ungefähr noch 94.387 % der Länge der vorhergehenden Saite. Nach 12 Schritten hat sich so die ursprüngliche Saitenlänge halbiert und es erklingt die Oktave. Es entsteht das Bild der Reiteranordnung wie oben gezeigt.

Es ist q12 = 0.5 => q ≈ 0.943874... Hat die Grundsaite c die Länge 1 m, so zeigt die Tabelle rechts die Längen der übrigen Saiten, welche eine chromatische Tonleiter bilden:

 
c
cis
d
dis
e
f
fis
g
gis
a
b
h
c'
1⋅q0=1 1⋅q1 1⋅q2 1⋅q3 1⋅q4 1⋅q5 1⋅q6 1⋅q7 1⋅q8 1⋅q9 1⋅q10 1⋅q11 1⋅q12
=0.5

Solche Zoom-Prozesse kommen auch sonst häufig vor.

Stellen Sie sich vor, Sie kauften eine schlechte Aktie, die im Durchschnitt jedes Jahr 5.613% an Wert verliert, d.h. im Folgejahr nur noch 94.387% des Vorjahreswertes hat.
Nach 12 Jahren haben Sie so durch Untätigkeit Ihr Kapital erfolgreich halbiert. (Man spricht von einer Halbwertszeit von 12 Jahren.)

Die Reiter auf dem Monochord zeigen Ihnen die Entwicklung Ihres Kapitals vom Jahr 0 (unterste Saite) bis zum Jahr 12 (oberste Saite). Die Saitenlänge vom Stimmnagel links bis zum Reiter gibt jeweils den aktuellen Stand an.
Zum Trost für den Kapitalverlust können Sie auf dem Monochord eine chromatische Tonleiter spielen.

Nach demselben Gesetz nehmen die Rohrlängen der Pfeifen einer Panflöte ab.

panfloete

 
 
 
 
  Bundberechnung Gitarre      
 

gitarre

Mit demselben Zoomfaktor q ≈ 0.943874... (=zwölfte Wurzel aus 0.5) wird die Länge Steg-Bund einer Gitarrensaite von Bund zu Nachbarbund gezoomt.

 

Beispiel: zweitunterste Saite a 220Hz mit angenommener Grundlänge 650 mm = Distanz Steg...Sattel (Bild links, grün hervorgehoben).

Ton-Nr.

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Tonname
a
b
h
c
cis
d
dis
e
f
fis
g
gis
a'
rel.Länge
q0=1
q1
q2
q3
q4
q5
q6
q7
q8
q9
q10
q11
q12=0.5
abs. Länge in mm 650 613.5 579.1 546.6 515.9 486.9 459.6 433.8 409.5 386.5 364.8 344.3 325

Die Formel für die Länge L von Steg zum Bund für Ton Nr. n lautet:

L(n) = 650 mm ⋅qn, mit q ≈ 0.943874... = zwölfte Wurzel aus 0.5.

 
 
 
 
 
gitarre
  Links: Grafik zu L(n) = 650 mm ⋅qn, mit q ≈ 0.943874... = zwölfte Wurzel aus 0.5.  
 
 
 
  Frequenzen bei der gleichstufig temperierten Stimmung (Klavier)      
 

tastatur

Pro Oktavschritt verdoppelt sich die Frequenz eines Tones.
Der Kammerton a' hat eine Frequenz von 440 Hz, der Ton a'', der 12 Halbtonschritte höher liegt, eine solche von 880 Hz.

 

Die Frequenz wird pro Halbtonschritt um einen Faktor q aufgezoomt. Nach 12 Schritten hat sich die Frequenz verdoppelt: q12 = 2.
q ist folglich die zwölfte Wurzel aus 2, d.h. q ≈ 1.05946...

Ton-
Nr.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Ton
a'
b'
h'
c''
cis''
d''
dis''
e''
f''
fis''
g''
gis''
a''
Frequenz
in Hz
440
880

Welche Frequenz hat z.B. der Ton c'' ?

 
 
 
 
  Verdünnungsreihe Homöopathie      
 

Die Urtinktur wird bei der sogenannten D-Reihe ("deka") pro Schritt im Verhältnis 1:10 verdünnt. Der Zoomfaktor ist also 1/10:

Potenz-Nr.
D0
D1
D2
D3
D4
D5
...
Verdünnungsfaktor
1
1/10
1/100
1/1000
1/10'000
1/100'000
oder
1
10-1
10-2
10-3
10-4
10-5


Aufgabe:
Wie viele Liter Wasser werden benötigt, um 1 ml Urtinktur in die D22-Verdünnung zu bringen?

 

Vergleichen Sie diese Wassermenge mit dem Volumen des Mittelmeers:
4.3 Millionen Kubikkilometer = 4.3⋅1018 Liter.

mittelmeer milliliter

Bildquelle:
http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelmeer 

Bildquelle:
http://www.scienceteacherprogram.org/biology/CCleckley99.html
 
 
 
 
  Bakterienkultur      
 

bakterien

Eine Bakterienkultur verdopple sich jede Stunde. Zur Zeit t = 0 h seien 100 Bakterien vorhanden. Wie entwickelt sich die Population im Laufe der Zeit?

 

x = Anzahl h
0
1
2
3
y = Anzahl Bakterien
1⋅100
2⋅100
4⋅100
8⋅100

y = Anzahl Bakterien nach x Stunden:

y = 100⋅2x

 

expft
Exponentielles Wachstum

Da x eine Anzahl Stunden darstellt, sind die Werte für x sinnvollerweise nicht auf natürliche Zahlen beschränkt. Es ist deshalb auch naheliegend zu fragen, wie es nach einer halben Stunde (x = 0.5) aussieht. Damit haben wir rationale Exponenten eingeführt. Was könnte 20.5 bedeuten?
Wir können auch in die Vergangenheit zurückextrapolieren: Wie sah es 1 Stunde vor t = 0 h aus (x = -1)? Was könnte 2-1 bedeuten?

 
 
 
 
  Das Lotosblüten-Rätsel      
  monet  

Ein Teich wird mit Blüten besiedelt. Jeden Tag vermehren sich die Blumen so, dass sie die doppelte Fläche des Vortages bedecken. Nach 12 Tagen ist der Teich zugewachsen. Nach wievielen Tagen war er zur Hälfte bedeckt?

 

Tipp: Denken statt rechnen.