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Potenzen mit Exponenten aus N, Z und Q | |||||
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Ein Panoptikum zum Thema "Potenzen" | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Archimedes' Sandrechner Links zum Thema: |
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Archimedes lebte von 287 - 212 v. Chr. in Syrakus, Sizilien. Sein Sandrechner entstand zwischen 240 und 216 v.Chr. Archimedes schreibt in der Einleitung an den Herrscher von Syrakus: "Etliche glauben, König Gelon, dass die Zahl der Sandkörner unendlich sei. Ich spreche dabei (...) vom Sande der ganzen bewohnten und unbewohnten Erde. Andere gibt es, die aber meinen, dass es keine so grosse Zahl gebe, die die Zahl der Sandkörner übertreffe. (...) Ich werde versuchen, (...) klar zu machen, dass Zahlen vorhanden sind, die (...) die Zahl der Sandkörner in einer Kugel, die so gross ist wie der Kosmos, (übertreffen)." Das scheint heute einfach zu sein. Wir sind uns gewohnt, mit riesigen Zahlen zu operieren. Selbst Kinder kommen schnell auf die Idee, einer Zahl einfach beliebig viele Nullen anzuhängen und freuen sich über die immer verrückteren Namen, die man diesen Zahlen dann geben kann (Quadrillionen, Quadrilliarden, usw.). Wir Erwachsenen kennen zudem noch die Potenzschreibweise, um riesige Zahlen zu notieren. Im alten Griechenland gab es jedoch kein Stellenwertsystem und die Potenzschreibweise war unbekannt. Eines der damals gebräuchlichen griechischen Zahlsysteme sah etwa so aus: |
M, die Myriade (10'000), war die höchste mit einem Buchstaben belegte Zahl. Es gab noch die Konstruktion ΓM für 50000, aber dann kam das System an sein Ende. Vor diesem Hintergrund waren die Überlegungen Archimedes' revolutionär. Er wollte dieses begrenzte System gewissermassen ins Unendliche öffnen.
Damit beschloss Archimedes seinen Aufbau, den man natürlich immer weiterführen könnte. Bemerkung: Natürlich benützte Archimedes nicht die oben verwendete Potenzschreibweise; diese war damals noch nicht bekannt, ebensowenig die Null. Er verwendete stattdessen die Namen "zweite, dritte, A-te Achtheit", usw. |
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Die Schachlegende | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Das Schachspiel hat seinen Ursprung vermutlich in Indien, vielleicht aber auch in China. Folgende Legende ist wohl erfunden und hat mit dem eigentlichen Schachspiel nichts zu tun: Ein reicher indischer Herrscher, dem man zum ersten Mal das Schachspiel präsentierte, rief den Erfinder zu sich und gewährte ihm einen beliebigen Wunsch. "Und sei nicht zu bescheiden!", rief er ihm zu. |
(50'000 Körner sind etwa 1 Liter Reis. 1000 Liter sind ein Kubikmeter. Wieviele Kubikmeter Reis wird*) der Mann ungefähr erhalten?)
*) Er wird nicht. Vergleichen Sie die Zahl mit der derzeitigen Welternte an Reis. |
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Katzen und Mäuse - ein Rätsel aus dem Papyrus Rhind (1650 AD) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Es gibt sieben Häuser,
(Wieviele Samen sind es insgesamt?) |
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Moderne Namensmagie grosser und kleiner Zahlen | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Heute werden vor physikalische Einheiten Vorsilben gesetzt, um diese Einheiten zu vergrössern oder zu verkleinern:
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Beispiele grosser Zahlen (mit Ausnahme von NA als grobe Schätzungen):
Beispiele kleiner Zahlen
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Die Zahl Googol | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Link zum Thema: http://de.wikipedia.org/wiki/Googol |
Um 1930 wurde der amerikanische Mathematiker Eduard Kasner gebeten, sich einen Namen für eine sehr grosse Zahl auszudenken. (Googolplex + 1) ist übrigens keine Primzahl; ein Teiler ist -laut Literatur- |
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Die Verzweigungsregel (Multiplikationsregel) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Die gleichstufig temperierte chromatische Tonleiter - ein Zinseszinsprozess | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13-saitiges Monochord Bei jedem Halbtonschritt wird die vorhergehende Saitenlänge mit dem Faktor q = 0.943874... gezoomt. Es ist q12 = 0.5 => q ≈ 0.943874... Hat die Grundsaite c die Länge 1 m, so zeigt die Tabelle rechts die Längen der übrigen Saiten, welche eine chromatische Tonleiter bilden: |
Solche Zoom-Prozesse kommen auch sonst häufig vor. Die Reiter auf dem Monochord zeigen Ihnen die Entwicklung Ihres Kapitals vom Jahr 0 (unterste Saite) bis zum Jahr 12 (oberste Saite). Die Saitenlänge vom Stimmnagel links bis zum Reiter gibt jeweils den aktuellen Stand an. Nach demselben Gesetz nehmen die Rohrlängen der Pfeifen einer Panflöte ab. |
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Bundberechnung Gitarre | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Mit demselben Zoomfaktor q ≈ 0.943874... (=zwölfte Wurzel aus 0.5) wird die Länge Steg-Bund einer Gitarrensaite von Bund zu Nachbarbund gezoomt. |
Beispiel: zweitunterste Saite a 220Hz mit angenommener Grundlänge 650 mm = Distanz Steg...Sattel (Bild links, grün hervorgehoben).
Die Formel für die Länge L von Steg zum Bund für Ton Nr. n lautet: L(n) = 650 mm ⋅qn, mit q ≈ 0.943874... = zwölfte Wurzel aus 0.5. |
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Links: Grafik zu L(n) = 650 mm ⋅qn, mit q ≈ 0.943874... = zwölfte Wurzel aus 0.5. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Frequenzen bei der gleichstufig temperierten Stimmung (Klavier) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Pro Oktavschritt verdoppelt sich die Frequenz eines Tones. |
Die Frequenz wird pro Halbtonschritt um einen Faktor q aufgezoomt. Nach 12 Schritten hat sich die Frequenz verdoppelt: q12 = 2.
Welche Frequenz hat z.B. der Ton c'' ? |
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Verdünnungsreihe Homöopathie | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Die Urtinktur wird bei der sogenannten D-Reihe ("deka") pro Schritt im Verhältnis 1:10 verdünnt. Der Zoomfaktor ist also 1/10:
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Vergleichen Sie diese Wassermenge mit dem Volumen des Mittelmeers:
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Bakterienkultur | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Eine Bakterienkultur verdopple sich jede Stunde. Zur Zeit t = 0 h seien 100 Bakterien vorhanden. Wie entwickelt sich die Population im Laufe der Zeit?
y = Anzahl Bakterien nach x Stunden: y = 100⋅2x |
Da x eine Anzahl Stunden darstellt, sind die Werte für x sinnvollerweise nicht auf natürliche Zahlen beschränkt. Es ist deshalb auch naheliegend zu fragen, wie es nach einer halben Stunde (x = 0.5) aussieht. Damit haben wir rationale Exponenten eingeführt. Was könnte 20.5 bedeuten? |
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Das Lotosblüten-Rätsel | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ein Teich wird mit Blüten besiedelt. Jeden Tag vermehren sich die Blumen so, dass sie die doppelte Fläche des Vortages bedecken. Nach 12 Tagen ist der Teich zugewachsen. Nach wievielen Tagen war er zur Hälfte bedeckt?
Tipp: Denken statt rechnen. |
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Test Potenzen | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Lösungen |
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2. 3. 4. |
5. 6. 7. |
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