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Verkehrsnetze

netzwerk1

Das Bild zeigt ein Strassennetz mit lauter Einbahnstrassen (Pfeilrichtung).

Messungen zeigen, dass in Spitzenzeiten auf der Ein- und Ausfallstrasse 49 Autos pro Minute passieren.

Die Strassen weisen unterschiedliche "Leitfähigkeit" auf. Diese Werte sind mit g = 1 bis 4 bei den jeweiligen Abschnitten eingetragen: 1 = geringe, 4 = hohe "Leitfähigkeit". Wir können uns der Einfachheit halber vorstellen, dass die Werte g die Anzahl Fahrspuren bedeute (g = 1: eine Fahrspur, ... , g = 4: vier Fahrspuren).

Die roten Punkte markieren Kreuzungen, respektive Verzweigungen. Sie sind im Bild markiert mit 0, x, y und z.

0, x, y und z seien Zahlwerte, die diesen Punkten zugeordnet werden. Was sie genau bedeuten, wird unten erklärt.

Man startet oben mit Zahlwert 0 und landet schliesslich beim Punkt unten mit Zahlwert z. Diese Zahlen sind eine Art "Bewertung", wie "nahe" man dem Ziel -dem unteren Punkt mit Zahlwert z - schon ist. Mit "nahe" ist nicht die Kilometer-Distanz gemeint, sondern es handelt sich um eine Bewertungszahl, die in erster Linie die Durchflussgeschwindigkeit (gutes Fortkommen oder Stau) berücksichtigt. (Die Distanzen sollen hier keine Rolle spielen, d.h. das Ganze spielt sich auf einem kleinen Raum ab, etwa in einem Dorf mit Schleichverkehr.)

Zwischen den roten Punkten liegen die Strassenabschnitte I1 bis I5 mit der Angabe der Anzahl g der Fahrspuren.

Nun erklären wir die Bewertungszahlen x, y und z genauer:

netzwerk2

Das Bild zeigt den Abschnitt I3. Nehmen wir einmal an, es sei x = 6 (Pfeilspitze) und y = 5 (Pfeil-Anfang).

Die Differenz dieser Zahlen (Zahl Pfeilspitze minus Zahl Pfeil-Anfang) -in unserem Fall 6 - 5 = 1 - gibt gewissermassen den "Sog" an, den diese Strasse auf den Verkehrsfluss ausübt. Eine grosse Differenz bedeutet, dass man hier schnell vorwärts kommt, eine kleine bedeutet Schneckentempo, Differenz 0 bedeutet Stau.

Die Zahl an der Pfeilspitze gibt also den "Sog" in Fahrtrichtung an, während die Zahl am Pfeilanfang einen "hemmenden Sog" nach hinten angibt. Der kann z.B. dadurch entstehen, dass bessere Umfahrungen zur Verfügung stehen, so dass die Verkehrsteilnehmer diese Strasse besser nicht benutzen.

Die Differenz (hier 6 - 5 = 1) soll nun die Anzahl Autos pro Fahrspur bedeuten, die pro Minute passieren. Hier würde also pro Fahrspur 1 Auto pro Minute durchfahren. Weil I3 aber 2 Fahrspuren hat (g = 2), passieren auf der ganzen Strasse 2 Autos pro Minute. Die Anzahl Autos, die insgesamt auf diesem Stück pro Minute passieren, errechnet sich also so:

g mal (Endzahl minus Anfangszahl). Mit I3 bezeichnen wir im Folgenden sowohl den Strassenabschnitt I3 wie auch die Anzahl Autos, die pro Minute I3 passieren.

In unserem Beispiel wäre also I3 = 2 (x - y).

An jeder Kreuzung verzweigen sich die Verkehrsströme oder sie kommen zusammen. Diese Ströme werden somit subtrahiert oder addiert.

Für die Knoten in unserem Beispiel erhalten wir folgende Verkehrsstrom-Gleichungen:

 
 

Oberer Knoten (Zahl 0):

(1): 49 = I1 + I2

Knoten mit Zahl x:

(2): I1 + I3 = I4

Knoten mit Zahl y:

(3): I2 = I3 + I5

Knoten mit Zahl z:

(4): I4 + I5 = 49.

netzwerk1
 
 

Wir bemerken, dass Gleichung (4) sich bereits durch Kombination der Gleichungen (1), (2) und (3) ergibt; wir lassen sie somit weg.

Die Ströme hängen nun mit den Bewertungszahlen 0, x, y und z auf sehr einfache Art zusammen:

Wir bilden bei jedem Pfeilabschnitt die Differenz (Endzahl minus Anfangszahl). Das ist der Durchfluss pro Fahrspur. Der gesamte Durchfluss (Autos pro Minute) auf allen Fahrspuren ergibt sich, indem wir diese Differenz mit dem zugehörigen g (Anzahl Spuren; Leitwert) multiplizieren.

So wird jetzt:

 
 

I1 = 4 (x - 0) = 4x

I2 = 2 (y - 0) = 2y

I3 = 2 (x - y)

I4 = 3 (z - x)

I5 = 1 (z - y) = z - y

 
 
 

Für I1 bis I5 setzen wir nun in den Gleichungen (1) bis (3) diese Ausdrücke ein. Wir erhalten so 3 Gleichungen in x, y und z

 
 

(1): 49 = 4x + 2y

(2): 4x + 2 (x - y) = 3 (z - x)

(3): 2y = 2 (x - y) + (z - y)

 
 

Dieses System können wir auflösen. Wir erhalten in unserem Beispiel x = 8.5; y = 7.5; z = 20.5.

Jetzt können wir die I1 bis I5 berechnen:

 
 

I1 = 4x = 34

I2 = 2y = 15

I3 = 2 (x - y) = 2

I4 = 3 (z - x) = 36

I5 = z - y = 13.

 
 

Das ist die Anzahl der Fahrzeuge, die pro Minute die entsprechenden Strassenstücke passieren, wenn wir annehmen, dass die Ausnützung des Strassennetzes einigermassen "optimal" abläuft. Für die Anwohner ist das natürlich alles andere als "optimal", denn solcher Schleichverkehr ist selbstverständlich unerwünscht. Unsere Berechnung kann dazu dienen, solchen unerwünschten Schleichverkehr zu berechnen, damit Massnahmen dagegen getroffen werden können.

Von 49 Autos, die pro Minute einfahren, benützen also 15 einen Schleichwerg über I2, die restlichen 34 bleiben auf dem Ast I1 ---> I4. Es ist also zu erwarten, dass über ein Drittel einen Schleichweg durchs Dorf benutzen wird.

 

Aufgabe

Man berechne das folgende Verkehrsnetz:

netzwerk3

 

Lösungen:

x = 6.5; y = 5.5; z = 15.5

I1 = 26; I2 = 11; I3 = 1; I4 = 27; I5 = 10.