Zahlmengen, Betrag, Terme, Polynome
Beispiel:
Man füttere den Term T(x) = 2x2 - 4x + 1 mit folgenden Werten: x = -1 und x = 1/2.
Lösung:
2(-1)2 - 4(-1) + 1 = 2⋅ 1 + 4 + 1 = 7; 2(1/2)2 - 4(1/2) + 1 = 2⋅ (1/4) - 2 + 1 = -1/2
Der Araber Al-Khuwarizmi (um 800 n.Chr.) schreibt:
"Wenn beim Subtrahieren nichts übrigbleibt, schreib dann einen kleinen Kreis, damit der Platz nicht leer bleibt. Der kleine Kreis muss den Platz einnehmen, weil es sonst weniger Stellen werden und zum Beispiel die zweite für die erste gehalten wird."
Im 12. Jh. wurde Al-Khuwarizmis Werk in Spanien aus dem Arabischen übersetzt. Damit wurde die indische Positionsarithmetik bei uns bekannt.
Das schriftliche Rechnen hat sich erst spät entwickelt. Vorläufer waren das Fingerrechnen und das Rechnen mit dem Abakus und mit Rechensteinchen.
1: Die Griechen fassten Eins nicht als Zahl auf. Aristoteles: "Die Eins (ist) die Grundlage des Zählens, der Ursprung der Zahl, aber selbst keine Zahl." Symbolik: "Einheit".
2: Noch heute haben wir sprachlichen Sonderformen für zwei Dinge: Paar, Zwillinge, Duett. Zwei war für viele Menschen alter Jäger- und Sammlerkulturen "das Andere", das "Du". Symbolik: Gegensatz, Polarität, Yin-Yang, Trennung, Gut-Böse, Dur-Moll, usw.
Mathematik: 2 ist die einzige gerade Primzahl *). 2 + 2 = 2⋅2 =22.
*) Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau 2 Teiler hat (sich selber und 1). Aufgrund dieser Definition ist 1 keine Primzahl, da 1 nur einen Teiler hat.
3: Für Menschen alter Jäger- und Sammlerkulturen gleichbedeutend mit "viel". Symbolik: These-Antithese-Synthese (Dreischritt), Aufhebung des Gegensatzes in einem Dritten, Dreizahl in Märchen und Religionen (Brahma-Wischnu-Schiwa), Dreigliederung der Zeit, viele Dreigliederungen in unserer Kultur.
"Im Dritten löst sich die Spannung, indem das verlorene Eine wieder hervortritt." (C.G.Jung.)
Mathematik: 3 ist die erste ungerade Primzahl. 1 + 2 + 3 = 1⋅2⋅3.
4: Symbolik: 4 Windrichtungen, 4 Jahreszeiten, 4 antike "Elemente", ...
5: Symbolik: "Fünf ist des Menschen Seele. Wie der Mensch aus Gutem und Bösem ist gemischt, so ist Fünfe die erste Zahl aus grad' und ungerade." (Schiller, Piccolomini.)
Das Pentagramm als Zeichen des "Mikrokosmos". Fünf als "Quinta essentia", als Quintessenz. China: 5 als Glückszahl.
Mathematik: Ein Papierstreifen zu einer Schlinge verflochten und flach gefaltet ergibt ein Fünfeck. Das Fünfeck "beherbergt" auch das Verhältnis des "goldenen Schnittes".
Quelle und weitere Infos zum goldenen Schnitt: mathematik.de
6: Symbolik: Oft als "Vollendung". Sechs-Stern, Schneeflocken. Mathematik: 6 ist die erste vollkommene Zahl: Eine Zahl nannte man vollkommen, wenn sie gleich der Summe ihrer echten Teiler war: 6 = 1 + 2 + 3. (Die nächste vollkommene Zahl ist 28.)
7: Symbolik: Oft eine Vollendung mehr geistiger Art. Siebenzahl in Märchen. Früher oft auch Symbol für das Eintreten einer Störung, einer Krise. 7 Hügel Roms. 7 Tage sass Buddha entrückt, usw.
Mathematik: Ein regelmässiges Siebeneck ist nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
Vollkommene Zahlen : (Antikes Griechenland): Man betrachtet die echten Teiler einer Zahl. Bsp: 12 hat die echten Teiler 1, 2, 3, 4, 6 (12 selber wird hier nicht dazugerechnet, obwohl auch 12 natürlich ein Teiler von 12 ist!). Dann bildet man die Summe der echten Teiler:
1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16. Hier ist die Teilersumme grösser als die Zahl 12. Es gibt auch Zahlen, bei denen die Teilersumme kleiner als die Zahl ist. Und dann gibt es eben die "vollkommenen" Zahlen, bei denen die Teilersumme gleich der Zahl selber ist. Beispiele: 6, 28, 496, 8128...
Übrigens: Die Summe der Kehrwerte aller Teiler einer vollkommenen Zahl ergibt stets 2:
Beispiel für die Teiler der vollkommenen Zahl 6:
1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 2.
Beispiel für 28:
1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 =
2.
Befreundete Zahlen : 220 und 284 waren bei den Griechen "befreundete Zahlen": Die Summe der echten Teiler von 220 ist 284 und die Summe der echten Teiler von 284 ist 220. Bereits die Griechen stellten sich die Frage, ob es weitere, vielleicht sogar unendlich viele, befreundete Zahlenpaare gibt.
Link zu weiteren Informationen.
Dreieckszahlen : Legt man mit Steinchen Dreiecksmuster, entstehen der Reihe nach folgende Zahlen: 1, 3, 6, 10, 15, ... Analog kann man Quadratzahlen oder Fünfeckszahlen bilden.
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1 3 6 10
Fibonaccizahlen : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
(Wie geht die Reihe weiter?). Die Fibonaccizahlen sind im Hauptbahnhof Zürich in Mario Merz' grosser Leuchtinstallation "Das philosophische Ei" in der Haupthalle zu finden. Die Fibonacci-Zahlen haben einen Zusammenhang mit dem "goldenen Schnitt" und mit Spiralstrukturen etwa bei Tannzapfen oder Sonnenblumen.
Bildquelle: sbb.ch (mit weiteren Infos zum "Philosophischen Ei" von Mario Merz).
10213223 : Eine Zahl, die sich selbst beschreibt:
"Eine Null, zwei Einsen, drei Zweier, zwei Dreier." Finden Sie weitere solche Zahlen?
Forty : Die Buchstaben dieses Zahlworts treten in alphabetischer Reihenfolge auf. Gibt es Analoges im Deutschen?
Noch eine Denksportaufgabe:
Man denke sich die Zahlwörter von Eins bis Tausend. Welche 5 Zahlwörter aus dieser Liste stehen ganz am Schluss des Alphabets?
(Quelle: François Fricker, Mathemagisches, Tages-Anzeiger-Magazin)
Zahl und Wort : Starten Sie mit einer beliebigen natürlichen Zahl, z.B. 2428.
Schreiben Sie sie als Zahlwort: zweitausendvierhundertachtundzwanzig.
Zählen Sie die Buchstaben: 36.
Bilden Sie erneut das Zahlwort: sechsunddreissig.
Zählen Sie die Buchstaben: 16 -> sechzehn -> 8 Buchstaben -> acht -> 4 Buchstaben -> vier -> 4 Buchstaben -> 4 -> Endstation.
Ist die Endstation für jede beliebige Startzahl immer 4? Begründung?
Magische Quadrate :
Quelle: M.L.von Franz: Zahl und Zeit
Horizontal- Vertikal- und Diagonalsummen ergeben stets 15.
15 ist auch das Dreifache der mittleren Zahl. Ist das Zufall?
Wie gross muss die "magische Summe" eines 4x4-Quadrates sein?
Dürer: Melancholia, 1514. Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Melencolia_I
Ein magisches Quadrat im Kupferstich "Melancholia" von Albrecht Dürer, entstanden 1514 (die Jahreszahl 1514 ist Teil des magischen Quadrates!). Hier ergeben sogar die Zahlen der vier Eckfelder jeweils die magische Summe, ebenso die Zahlen in den vier Quadraten in den Ecken. Das Quadrat ist also gewissermassen "supermagisch".
Sudokus : Brauchen wohl nicht speziell erläutert zu werden.
Literatur zu Zahlen und Zahlspielereien:
Eugen Jost, Peter Baptist: Alles ist Zahl
Alfred Hoehn, Martin Huber: Pythagoras. Erinnern Sie sich?
Weitere Denksportaufgaben mit Zahlen: hier.
Der gemeinsame Faktor 3 kann vor die Klammer gezogen werden. Er erscheint einmal vor der Klammer, gilt aber für jeden Summanden.
Achtung: 3a + 3 = 3a + 3⋅1 = 3⋅(a + 1).
(-1) ausklammern:
(b - a) = (-1)(-b + a) = (-1)(a - b)
Das Ausklammern von (-1) wird häufig gebraucht, um "vertauschte Differenzen" kürzen zu können.
Beispiel:
(b - a) / (a - b)2 = (-1)(a - b) / (a - b)2 = (-1) / (a - b).
Klammern ausklammern
Wir betrachten den Ausdruck (a + b)(c - d).
Wir multiplizieren aus und erhalten ac - ad + bc - bd.
Umkehrfrage: Gegeben ist
ac - ad + bc - bd. Wie erhalten wir den faktorisierten Ausdruck
(a + b)(c - d) zurück?
1. Schritt: Teilweise ausklammern:
ac - ad + bc - bd = a(c - d) + b(c - d)
2. Schritt: Die gemeinsame Klammer (c - d) ausklammern: Sie kommt einmal nach vorn (oder nach hinten):
a(c - d) + b(c - d) = (c - d)⋅(a + b)
Klammern ausklammern - noch eine Erklärung:
Aufgabe:
1. Gegeben ist folgende Aufgabe: (a - 2b)x - (a - 2b)y.
Man zerlege diesen Ausdruck in Faktoren, d.h. man klammere die gemeinsame Klammer aus.
2. Wir packen die Klammer (a - 2b) in einen "Ordner", schliessen ihn und beschriften ihn aussen mit A. (Man nennt diesen Vorgang Substitution [Ersetzung].)
Nun ist folgende Aufgabe entstanden: A x - A y ist durch Ausklammern von A in Faktoren zu zerlegen.
3. Diese Aufgabe kennen wir von früher:
A x - A y = A ⋅(x - y) .
4. Wir öffnen den geschlossenen Ordner A : Sein Inhalt erscheint nun wieder:
(a - 2b)⋅(x - y) .
1. Binomische Formel: (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 2. Binomische Formel: (a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - 2ab + b2 3. Binomische Formel: (a + b)(a - b) = a2 - b2 ("Quadrat minus Quadrat") |
In buchstabenunabhängigen Symbolen:
1. Multiplizieren Sie mit Hilfe der Binomischen Formeln aus:
a) (5x + 3y)2 b) (a - 9b)(a + 9b) c) (a - 9b)(9b + a)
d) (2x - y)2 e) (3a + bc)2
2. Zerlegen Sie mit Hilfe der Binomischen Formeln in Faktoren:
a) 4x2 - y2 b) 36a2+36ab+9b2 c) 9a2 - 225
d) 16x2-40xy+25y2 e) 49a2 - 4b2 f) 9a4 + 30a2b + 25b2
g) 4x4-28x2y+49y2 h) a3 - a i) x3- 6x2y + 9xy2
Lösungen:
1a) 25x2+30xy+9y2 b) a2 - 81b2 c) dasselbe; die Summe lässt sich vertauschen
d) 4x2-4xy + y2 e) 9a2 + 6abc + b2c2
2a) (2x - y)(2x + y) b) (6a + 3b)2 = 9(2a + b)2
c) (3a - 15)(3a + 15) d) (4x - 5y)2
e) (7a-2b)(7a+2b) f) (3a2+5b2)2 g) (2x2-7y)2
h) a(a2-1) = a(a - 1)(a + 1) : Zuerst a ausklammern; Ausklammern immer zuerst, wenn möglich.
i) x(x2-6xy+9y2) = x(x - 3y)2: Zuerst x ausklammern. Erst dann erscheint die Binomische Formel.
Geometrische Veranschaulichung der 1. Binomischen Formel
Zwei Puzzles zur Veranschaulichung der 3. Binomischen Formel "Quadrat minus Quadrat" .
Die Griechen nannten die winkelförmige Figur, die entsteht, wenn man von einem grossen Quadrat in einer Ecke ein kleineres Quadrat wegschneidet, einen Gnomon.
Die Figur a2 - b2 stellt also einen Gnomon, einen "Winkel", dar.
Die 3. Binomische Formel verwandelt einen solchen Gnomon in ein flächengleiches Rechteck mit der Fläche (a - b)(a + b).
1. a2 + 2a - 15
2. x2 - 13x + 36
3. a3 - a2 - 6a
4. 2x3 - 2x2y -12xy2
1. (a + 5)(a - 3)
2. (x -4)(x - 9)
3. a(a2 - a - 6) = a(a - 3)(a + 2): zuerst ausklammern
4. 2x(x2 - xy - 6y2 ) = 2x(x - 3y)(x + 2y): zuerst ausklammern
1. (u + v)2 - w2
2. z8 - w4
3. z2 - x2 - 2xy - y2
1.Typus A2 - B2 = (A + B)(A - B), d.h. [(u + v) + w][(u + v) - w] = (u + v + w)(u + v - w)
2. Typus A2 - B2 = (A + B)(A - B), d.h. (z4)2 - (w2)2 = ( z4 + w2)( z4 - w2) =
( z4 + w2)(z2 + w)(z2 - w)
3. = z2 - (x2 + 2xy + y2) = z2 - (x + y)2 = [z + (x + y)][z - (x + y)] = (z + x + y)(z - x - y)
Lösungshinweise:
1. = r(a - 2) - r2 (-1)(a - 2) + r3 (-1) (a - 2) = r(a - 2)(1 + r - r2 )
2. = (x + 1)(x - y) - (x - 3)(x - y) + (x + 2)(-1)(x - y) = (x - y)(x + 1 - (x - 3) - (x + 2)) =
(x - y)(x + 1 - x + 3 - x - 2) = (x - y)(-x + 2) = (x - y)(2 - x)
3. Klammer "erfinden": = n(x - y) - (x - y) = (x - y)(n - 1)
4. = m(a - b) + n(-1)(a - b) = m(a - b) - n(a - b) = (m - n)(a - b)
5. = a(c - d) + b(c - d) = (a + b)(c - d)
6. = 10abc + 20bc - 2a - 4 = 10bc(a + 2) - 2(a + 2) = (a + 2)(10bc - 2) = (a + 2)2(5bc - 1)
9. Typus A2 - B2 = (A + B)(A - B)
10. = (x - 3)2 - y2, nun Typus A2 - B2 = (A + B)(A - B)
11. raten
12. = 3a2 (b - 2) - ab(-1)(b - 2) + a(b - 2) = a(b - 2)(3a + b + 1)
13. Typus A2 - B2 = (A + B)(A - B)
Multiplikation und Division von Brüchen
Geschichtliches
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Übungen
Übungen zum Kürzen, Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen
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Addition von Brüchen
Schwierigere Beispiele:
Schlusstest
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